Vetores Orthonormais

O que é um Vetor Orthonormal?

Diz-se que um vetor é normal se tiver um comprimento de um. Diz-se que dois vetores são ortogonais se estiverem em ângulo reto um com o outro (seu produto de ponto é zero). Um conjunto de vectores é dito ser orthonormal se todos eles forem normais, e cada par de vectores no conjunto é ortogonal.

Vectores orthonormais são normalmente usados como base num espaço vectorial. Estabelecer uma base orthonormal para os dados facilita significativamente os cálculos; por exemplo, o comprimento de um vector é simplesmente a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas desse vector em relação a alguma base orthonormal.

QR Decomposição

A QR Decomposição de uma matriz quadrada real A é o processo de encontrar duas matrizes Q e R tais que:

• A = QR

• Q é uma matriz ortogonal

• R é uma matriz triangular superior

(se A é uma matriz quadrada complexa, ou é uma matriz retangular, então Q será uma matriz unitária.)

Existem vários métodos para calcular uma decomposição QR para uma matriz, incluindo o processo Gram-Schmidt, transformações de Householder, ou rotações de Givens. Cada método tem prós e contras, portanto os implementadores devem estudar cuidadosamente cada um desses algoritmos para um determinado problema.

A decomposição QR é frequentemente utilizada na solução do problema dos mínimos quadrados lineares. É também a base de um algoritmo de auto-descomposição, apropriadamente chamado algoritmo QR (embora ironicamente, a forma moderna do algoritmo não envolva o cálculo de uma decomposição QR!)