Pi: Det viktigaste talet i universum?

av Edward B. Burger, Ph.D., Southwestern University

Ett av de viktigaste talen i vårt universum är Pi eller π. Utforska mänsklighetens odyssé – försök genom tiderna som verkligen transcenderar kulturer – att beräkna, approximera och förstå detta gåtfulla tal.

En definition

Och även om ursprunget till π inte är säkert känt, vet vi att babylonierna approximerade π i basen 60 omkring 1800 f.Kr. Definitionen av π handlar om cirklar. Det är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter – ett tal som bara är lite större än tre.

Konstanten π hjälper oss att förstå vårt universum med större klarhet. Definitionen av π inspirerade en ny uppfattning om mätning av vinklar, en ny måttenhet. Detta viktiga vinkelmått är känt som ”radianmått” och gav upphov till många viktiga insikter i vår fysiska värld. När det gäller π självt visade Johann Lambert 1761 att π är ett irrationellt tal, och senare, 1882, bevisade Ferdinand von Lindemann att π inte är en lösning på någon polynomisk ekvation med heltal. Många frågor om π förblir dock obesvarade.

Lär dig mer: Geometri-Polygoner och cirklar

Experimentera med Pi

Alla diskussioner om pi:s ursprung måste börja med ett experiment med cirklar som vi alla kan prova. Ta vilken cirkel som helst och ta längden på omkretsen – som är längden runtom – och mät den i förhållande till diametern, som är längden tvärs över. Du kommer att få tre diametrar och bara en liten bit till, och om du tittar noga är det lite mer än 1/10 av vägen extra. Det här experimentet visar oss att förhållandet mellan omkretsen och diametern kommer att vara ett tal som ligger runt, eller är lite större än, 3,1. Oavsett hur stor cirkeln är så är omkretsen något större än tre gånger diametern.

Detta är en utskrift från videoserien Zero to Infinity. Se den nu, på The Great Courses.

Detta fasta, konstanta värde fick ett namn, och vi kallar det π. Hur säger vi det mer exakt? Talet π definieras som lika med förhållandet mellan omkretsen av en cirkel och dess diameter tvärs över. Detta förhållande är konstant. Oavsett vilken storlek på cirkeln vi prövar detta med kommer detta tal alltid att vara detsamma. Det börjar med 3,141592653589, och det fortsätter.

Symbolen π kommer från den grekiska bokstaven π, eftersom det grekiska ordet för ”periferi” börjar med den grekiska bokstaven π. Cirkelns periferi var föregångaren till cirkelns omkrets, som vi idag kallar omkrets. Symbolen π förekommer för första gången i William Jones text A New Introduction to Mathematics från 1709, och symbolen blev senare populär av den store schweiziske 1700-talsmatematikern Leonhard Euler omkring 1737.

Lär dig mer: Om man går från dess namn till dess värde finns det bevis för att babylonierna approximerade π i bas 60 runt 1800 f.Kr. De trodde faktiskt att π = 25/8, eller 3,125 – en otrolig approximation för att vara så tidigt i mänsklighetens historia. Den forntida egyptiska skribenten Ahmes, som förknippas med den berömda Rhindpapyrus, erbjöd approximationen 256/81, vilket motsvarar 3,16049. Återigen ser vi en imponerande approximation av denna konstant. Det finns till och med ett implicit värde för π som anges i Bibeln. I 1 Kungaboken 7:23 sägs en rund bassäng ha en omkrets på 30 kubiter och en diameter på 10 kubiter. I Bibeln anges alltså implicit att π är lika med 3 (30/10).

Inte förvånande nog utvecklades mänsklighetens förståelse för tal i takt med att förmågan att bättre förstå och därmed uppskatta π självt utvecklades. År 263 trodde den kinesiske matematikern Liu Hui att π = 3,141014.

Omkring 200 år senare uppskattade den indiske matematikern och astronomen Aryabhata π med bråket 62 832/20 000, vilket är 3,1416 – en verkligt fantastisk uppskattning. Omkring 1400 beräknade den persiske astronomen Kashani π korrekt till 16 siffror.

Hur man mäter vinklar med Pi

Låt oss bryta oss loss från denna historiska jakt på siffrorna i π och betrakta π som ett viktigt tal i vårt universum. Med tanke på π:s koppling till mätning av cirklars omkretsar inspirerades forskare att använda det som ett mått på vinkelavstånd. Tänk på en cirkel med radie 1. Radien är bara måttet från centrum ut till sidan. Det är halva diametern.

De traditionella enheterna för mått på vinklar är naturligtvis grader. Med grader har ett fullständigt varv runt cirkeln ett mått på 360 grader, vilket råkar vara ungefär lika med antalet dagar i ett helt år och vilket kan förklara varför vi tänker på en gång runt som 360.

Istället för det godtyckliga måttet 360 för att betyda en gång runt cirkeln, låt oss räkna ut den faktiska längden av att resa runt just denna cirkel, en cirkel med radie 1, en gång runt. Vad är längden och omkretsen av den? Om vi har en radie på 1 så är vår diameter dubbelt så stor, 2, så vi vet att en gång runt kommer att vara 2 gånger π eftersom omkretsen är π gånger diametern.

En gång runt kommer att vara 2π. Ett helt varv runt, vilket är en vinkel på 360 grader, skulle svepas ut med en omkretslängd på 2π i just den här cirkeln. Halvvägs runt skulle vara 180 grader, och vi skulle svepa ut halva omkretsen, vilket i det här fallet skulle vara π. Nittio grader skulle svepa ut en fjärdedel av cirkeln, och för just den här cirkeln skulle det ha längden π/2, eller halva π.

Vi börjar se att varje vinkel motsvarar ett avstånd som mäts en del av eller hela vägen runt just den här cirkeln med radie 1. Med andra ord, för varje vinkel kan vi mäta längden på den båge av denna cirkel som sveps ut av den vinkeln.

Denna båglängd ger ett nytt sätt att representera måttet på en vinkel, och vi kallar detta mått på vinklar för ”radianmått”. Till exempel 360 grader = 2π radianer, det är enheterna. 180 grader motsvarar π radianer och 90 grader skulle motsvara π/2 radianer. Kom ihåg att alla dessa mått alltid baseras på en speciell cirkel som har radie 1.

Lär dig mer om geometri och transformationstaktiken

Radianmått och potensen Pi

Det visar sig att detta radianmått är mycket mer användbart när det gäller att mäta vinklar för matematik och fysik än det mer välkända gradmåttet. Detta faktum är inte förvånande. Radianmåttet är naturligt kopplat genom omkretslängden med vinkeln, snarare än det mer godtyckliga gradmåttet som inte har något matematiskt underlag. Det representerar en approximation genom ett helt år.

Tecknet radian dök först upp i tryck på 1870-talet, men då hade stora matematiker, däribland den store matematikern Leonhard Euler, använt vinklar mätta i radianer i över hundra år.

Talet π förekommer i otaliga viktiga formler och teorier, bland annat Heisenbergs osäkerhetsprincip och Einsteins fältekvation från den allmänna relativitetsteorin. Det är en viktig formel och ett viktigt tal över hela världen.

Gamla frågor om talet Pi

Denna artikel uppdaterades den 28 april 2020

.