Ortonormala vektorer

Vad är en ortonormal vektor?

En vektor sägs vara normal om den har längden ett. Två vektorer sägs vara ortogonala om de står i rät vinkel mot varandra (deras punktprodukt är noll). En uppsättning vektorer sägs vara ortonormala om de alla är normala och varje vektorpar i uppsättningen är ortogonala.

Orthonormala vektorer används vanligtvis som en bas på ett vektorrum. Att fastställa en ortonormal bas för data gör beräkningar betydligt enklare; till exempel är längden på en vektor helt enkelt kvadratroten av summan av kvadraterna på koordinaterna för den vektorn i förhållande till någon ortonormal bas.

QR-dekomposition

En QR-dekomposition av en reell kvadratisk matris A är processen att hitta två matriser Q och R så att:

• A = QR

• Q är en ortogonal matris

• R är en övre triangulär matris

(om A är en komplex kvadratisk matris eller är en rektangulär matris kommer Q att vara en enhetlig matris.)

Det finns ett antal metoder för att beräkna en QR-dekomposition för en matris, inklusive Gram-Schmidt-processen, Householder-transformationer eller Givens-rotationer. Varje metod har för- och nackdelar, så implementerare bör studera var och en av dessa algoritmer noggrant för ett givet problem.

QR-dekomposition används ofta i lösningen av det linjära minsta kvadratproblemet. Den ligger också till grund för en algoritm för att hitta en egenvektor, med det passande namnet QR-algoritmen (även om den moderna formen av algoritmen ironiskt nog faktiskt inte innebär att man beräknar en QR-dekomposition!)