MathBootCamps

Linjära ekvationer med en variabel är ekvationer där variabeln har en exponent på 1, vilket vanligtvis inte visas (det är förstått). Ett exempel skulle vara något som \(12x = x – 5\). För att lösa linjära ekvationer finns det ett huvudmål: att isolera variabeln. I den här lektionen kommer vi att titta på hur detta görs genom flera exempel.

Innehållsförteckning

1. Exempel på lösning av enstegsekvationer
2. Exempel på lösning av tvåstegsekvationer
3. Exempel på lösning av tvåstegsekvationer.stegsekvationer
4. Exempel på ekvationer där du måste förenkla först
5. Oändligt många eller inga lösningar
6. Sammanfattning

Exempel på att lösa linjära ekvationer i ett steg

Efter allt ditt hårda arbete att lösa ekvationen, vet du att du vill ha ett slutligt svar som \(x=5\) eller \(y=1\). I båda dessa fall är variabeln isolerad, eller av sig själv.

Så vi måste ta reda på hur vi kan isolera variabeln. Hur vi gör detta beror på själva ekvationen! Om den har multiplicerats med något kommer vi att dividera. Om något adderades till den kommer vi att subtrahera. Genom att göra detta kommer vi långsamt att få variabeln för sig själv.

Låt oss använda ett exempel för att se hur detta fungerar.

Exempel

Lös ekvationen:

Lösning

I detta exempel multiplicerar 4:an \(x\). För att isolera \(x\) måste du därför dividera den sidan med 4. När du gör detta måste du komma ihåg en viktig regel: vad du gör med den ena sidan av ekvationen måste du också göra med den andra sidan. Så vi kommer att dela båda sidorna med 4.

\(\begin{align}4x &= 8 \\ \\ \dfrac{4x}{\color{red}{4}}} &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}}\end{align}\)

Förenkling:

\(x = \boxed{2}\)

Det var allt, ett steg och vi är klara. (Det är därför ekvationer som dessa ofta kallas ”enstegsekvationer”)

Kontrollera

Varje gång du löser linjära ekvationer kan du alltid kontrollera ditt svar genom att substituera det tillbaka i ekvationen. Om du får ett sant uttalande är svaret korrekt. Detta är inte 100 % nödvändigt för varje problem, men det är en bra vana så vi kommer att göra det för våra ekvationer.

I det här exemplet var vår ursprungliga ekvation \(4x = 8\). För att kontrollera detta, kontrollera att följande är sant:

\(\begin{align}4x &= 8\\\\ 4(2) &= 8 \\ 8 &= 8\end{align}\)

Detta är ett sant påstående, så vårt svar är korrekt.

För varje ekvation måste den operation du gör på den ena sidan också göras på den andra sidan

Vi provar några fler exempel innan vi går vidare till mer komplexa ekvationer.

Exempel

Lös: Eftersom \(x\) multipliceras med 3, är planen att dividera med 3 på båda sidor:

\(\begin{align}3x &=12\\\\ \dfrac{3x}{\color{red}{3}} &=\dfrac{12}{\color{red}{3}}\\ x&= \boxed{4}\end{align}\)

Kontrollera

För att kontrollera vårt svar låter vi \(x = 4\) och sätter in det i ekvationen igen:

\(\begin{align}3x &= 12\\\\3(4) &= 12 \\ 12 &= 12\end{align}\)

Som tidigare, eftersom detta är ett sant påstående, vet vi att vårt svar är korrekt.

I nästa exempel multipliceras inte variabeln med ett värde, utan ett värde subtraheras från variabeln. För att ”ångra” detta lägger vi till detta värde till båda sidorna.

Exempel

Lös:

Lösning

Denna gång subtraheras 9 från y. Så vi upphäver detta genom att lägga till 9 till båda sidorna.

\(\begin{align}y-9&=21\\\ y-9 \color{red}{+9}&=21\color{red}{+9}\\y&=30\end{align}\)

Nästan kommer vi att titta på det som brukar kallas ”tvåstegsekvationer”. I dessa ekvationer måste vi ångra två operationer för att isolera variabeln.

Exempel på tvåstegsekvationer

I vart och ett av exemplen ovan fanns det ett enda steg att utföra innan vi hade vårt svar. I de här nästa exemplen kommer du att se hur man arbetar med ekvationer som har två steg i stället. Om det finns mer än en operation är det viktigt att komma ihåg operationsordningen, PEMDAS. Eftersom du ångrar operationerna till \(x\) kommer du att arbeta ”utifrån och in”. Detta är lättare att förstå när du ser det i ett exempel.

Exempel

Lös:

Lösning

Lägg märke till de två operationer som sker med \(x\): den multipliceras med 2 och sedan subtraheras 7. Vi kommer att behöva ångra dessa operationer. Men det är bara \(x\) som multipliceras med 2, så det första steget blir att lägga till 7 till båda sidorna. Sedan kan vi dividera båda sidorna med 2.

Att lägga till 7 till båda sidorna:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\\ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \color{red}{+7}\\ 2x&=20\end{align}\)

Dela nu båda sidorna med 2:

\(\begin{align} 2x &=20 \\ \\dfrac{2x}{\color{red}{2}}}&=\dfrac{20}{\color{red}{2}}}\\ x&= \boxed{10}\end{align}}\)

Kontrollera

Just som med enklare problem, kan du kontrollera ditt svar genom att ersätta ditt värde av \(x\) tillbaka i den ursprungliga ekvationen.

\(\begin{align}2x-7&=13\\\ 2(10) – 7 &= 13\\\ 13 &= 13\end{align}\)

Detta stämmer, så vi har rätt svar.

Vi tittar på ytterligare ett exempel i två steg innan vi hoppar upp i svårighet igen. Se till att du förstår varje steg som visas och arbeta igenom problemet också.

Exempel

Lös: Lösning: \(5w + 2 = 9\)

Lösning

Som ovan finns det två operationer: \(w\) multipliceras med 5 och sedan läggs 2 till. Vi upphäver dessa genom att först subtrahera 2 från båda sidor och sedan dividera med 5.

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\ 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2}\\ 5w &= 7\\\\\\dfrac{5w}{\color{red}{5}}} &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}}\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}}\end{align}\)

Bråket till höger kan inte förenklas, så det är vårt slutgiltiga svar.

Kontrollera

Låt \(w = \dfrac{7}{5}\). Då:

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\ 5\vänster(\dfrac{7}{5}\höger) + 2 &= 9\\ 7 + 2 &= 9\ 9\ 9 &= 9 \end{align}\)

Så, vi har rätt svar igen!

Förenkling före lösning

I följande exempel finns det fler variabla termer och eventuellt en viss förenkling som måste ske. I varje fall kommer stegen att vara att först förenkla båda sidorna och sedan använda det vi har gjort för att isolera variabeln. Vi kommer först att ta en djupgående titt på ett exempel för att se hur allt detta fungerar.

För att förstå det här avsnittet bör du vara bekväm med att kombinera likadana termer.

Exempel

Lös: \Eftersom båda sidorna är förenklade (det finns inga parenteser som vi behöver räkna ut och inga likadana termer att kombinera) är nästa steg att få fram alla x på ena sidan av ekvationen och alla tal på den andra sidan. Samma regel gäller – vad du gör med den ena sidan av ekvationen måste du också göra med den andra sidan!

Det är möjligt att antingen flytta \(3x\) eller \(4x\). Anta att du flyttar \(4x\). Eftersom den är positiv skulle du göra detta genom att subtrahera den från båda sidorna:

\(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{red}{-4x}\\\ -x+2 & =-1\end{align}\)

Nu ser ekvationen ut som de som arbetades med tidigare. Nästa steg är att subtrahera 2 från båda sidorna:

\(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\-x=-3\end{align}\)

Slutligt, eftersom \(-x= -1x\) (detta är alltid sant), dividerar du båda sidor med \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}\\ x&=3\end{align}\)

Kontrollera

Du bör ta dig en stund och kontrollera att följande är ett sant påstående:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

I nästa exempel behöver vi använda oss av den distributiva egenskapen innan vi löser. Det är lätt att göra ett misstag här, så se till att du distribuerar talet framför parentesen till alla termer inuti.

Exempel

Lös:

Lösning

Först ska du fördela 3 och -3 och samla likadana termer.

\(\begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\ 3x+5&=-2x-3\end{align}\)

Nu kan vi lägga till 2x till båda sidor. (Kom ihåg att du får samma svar om du istället subtraherar 3x från båda sidorna)

\(\begin{align} 3x+5\color{red}{+2x} &=-2x-3\color{red}{+2x}\\ 5x+5& =-3\end{align}\)

Från här kan vi lösa som vi gjorde med andra tvåstegsekvationer.

\(\begin{align}5x+5\color{red}{-5} &=-3\color{red}{-5}\\ 5x &=-8\\\ \dfrac{5x}{\color{red}{5}}}&=\dfrac{-8}{\color{red}{5}}\\ x &= \dfrac{-8}{5}} \\ &=\boxed{-\dfrac{8}{5}}\end{align}\)

Kontrollera

Det här var en svår fråga, så kom ihåg att kontrollera ditt svar och se till att du inte har gjort något misstag. För att göra det ska du se till att följande är ett sant påstående:

\(3\left(-\dfrac{8}{5}+2\right)-1=\left(-\dfrac{8}{5}\right)-3\left(-\dfrac{8}{5}{5}+1\right)\)

(Observera: det fungerar – men du måste vara riktigt försiktig med parenteser!)

Oändligt många lösningar och inga lösningar

Det finns tillfällen då man följer alla dessa steg och en riktigt konstig lösning dyker upp. När man till exempel löser ekvationen \(x+2=x+2\) med hjälp av stegen ovan, hamnar man på \(0=0\). Detta är förvisso sant, men vad hjälper det?

Om du får ett uttalande som detta betyder det att ekvationen har oändligt många lösningar. Alla \(x\) du kan tänka dig skulle uppfylla ekvationen \(x+2=x+2\). Det lämpliga svaret i detta fall är ”oändligt många lösningar”.

Den andra situationen uppstår när du förenklar en ekvation till ett påstående som aldrig är sant, till exempel \(3=4\) eller \(0=1\). Detta händer med ekvationen \(x+5=x-7\) som leder till \(5= -7\), något som definitivt aldrig är sant. Detta innebär att ingen \(x\) skulle uppfylla denna ekvation. Med andra ord ”ingen lösning”. Sammanfattningsvis:

• Om du får ett påstående som alltid är sant som \(5 = 5\) eller \(0 = 0\), så finns det oändligt många lösningar.
• Om du får ett påstående som alltid är falskt som \(10 = 11\) eller \(1 = 5\), så finns det inga lösningar.

Sammanfattning

Lösning av linjära ekvationer handlar om att isolera variabeln. Beroende på ekvationen kan detta ta så lite som ett steg eller många fler steg. Kontrollera alltid om du behöver förenkla den ena eller båda sidorna av ekvationen först och kontrollera alltid ditt svar.

Prenumerera på vårt nyhetsbrev!

Vi lägger hela tiden ut nya gratislektioner och lägger till fler studiehandledningar, räknesnurror och problempaket.

Anslut dig för att få e-postmeddelanden (en gång varannan eller var tredje vecka) och få veta vad som är nytt!