Jämviktspunkt

Punkten x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\\in \mathbb {R} ^{n}}}

är en jämviktspunkt för differentialekvationen d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}}=\mathbf {f}} (t,\mathbf {x} )} }

if f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }

för alla t {\displaystyle t}

.

Punkten x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\\in \mathbb {R} ^{n}}}

är en jämviktspunkt (eller fast punkt) för differensekvationen x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}

för k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Ejämvikter kan klassificeras genom att titta på tecknen på egenvärdena i linjäriseringen av ekvationerna om jämvikterna. Det vill säga, genom att utvärdera den jakobiska matrisen vid varje jämviktspunkt i systemet och sedan hitta de resulterande egenvärdena kan jämvikterna kategoriseras. Därefter kan systemets beteende i närheten av varje jämviktspunkt bestämmas kvalitativt (eller till och med kvantitativt i vissa fall) genom att hitta den eller de egenvektorer som är associerade med varje egenvärde.

En jämviktspunkt är hyperbolisk om inget av egenvärdena har noll reell del. Om alla egenvärden har negativ reell del är jämvikten en stabil ekvation. Om minst en har en positiv reell del är jämvikten en instabil nod. Om minst ett egenvärde har negativ reell del och minst ett har positiv reell del är jämvikten en sadelpunkt.