Har 1+2+3… Really Equal -1/12?

En video från Numberphile som publicerades tidigare denna månad hävdar att summan av alla positiva heltal är -1/12.

Jag brukar vara ett fan av Numberphile-gänget, som gör ett bra jobb med att göra matematik spännande och lättillgängligt, men den här videon gjorde mig besviken. Det finns ett meningsfullt sätt att associera talet -1/12 till serien 1+2+3+4…, men enligt min mening är det vilseledande att kalla det summan av serierna. Dessutom bidrar sättet det presenteras på till en missuppfattning som jag ofta stöter på som matematiklärare, nämligen att matematiker godtyckligt ändrar reglerna utan någon uppenbar anledning, och att eleverna inte har något hopp om att veta vad som är tillåtet och vad som inte är tillåtet i en viss situation. I ett inlägg om den här videon säger fysikern Dr. Skyskull att ”en deprimerande stor del av befolkningen automatiskt antar att matematik är något icke-intuitivt, bisarrt trolleri som bara de superintelligenta kan förstå. Att visa ett så galet resultat utan förbehåll förstärker bara den uppfattningen och gör enligt min mening matematiken en otjänst.”

Addition är en binär operation. Man lägger in två tal och får ut ett tal. Men man kan utvidga den till fler tal. Om du till exempel har tre tal som du vill addera kan du addera två av dem först och sedan lägga till det tredje talet till den resulterande summan. Vi kan fortsätta att göra så här för ett ändligt antal addender (och aritmetikens lagar säger att vi får samma svar oavsett i vilken ordning vi adderar dem), men när vi försöker addera ett oändligt antal termer tillsammans måste vi göra ett val om vad addition innebär. Det vanligaste sättet att hantera oändlig addition är att använda begreppet gränsvärde.

Grovt uttryckt säger vi att summan av en oändlig serie är ett tal L om vi, när vi adderar fler och fler termer, kommer närmare och närmare talet L. Om L är ändlig kallar vi serien konvergent. Ett exempel på en konvergent serie är 1/2+1/4+1/8+1/16…. Denna serie konvergerar till talet 1. Det är ganska lätt att se varför: efter den första termen är vi halvvägs till 1. Efter den andra termen är vi hälften av det återstående avståndet till 1, och så vidare.

Zenos paradox säger att vi faktiskt aldrig kommer att nå 1, men att vi ur en gränssynvinkel kan komma så nära som vi vill. Det är den definition av ”summa” som matematiker vanligtvis menar när de talar om oändliga serier, och den stämmer i princip överens med vår intuitiva definition av orden ”summa” och ”lika”.

Men inte alla serier är konvergerande i den här bemärkelsen (vi kallar icke-konvergenta serier för divergenta). Vissa, som 1-1+1-1…, kan hoppa runt mellan olika värden när vi fortsätter att lägga till fler termer, och vissa, som 1+2+3+4… kan bli godtyckligt stora. Det är alltså ganska tydligt att summan 1+2+3… inte konvergerar om man använder gränsdefinitionen av konvergens för en serie. Om jag säger: ”Jag tror att gränsen för den här serien är något ändligt tal L” skulle jag lätt kunna räkna ut hur många termer jag ska lägga till för att komma så långt över talet L som jag vill.

Det finns meningsfulla sätt att associera talet -1/12 till serien 1+2+3…, men jag föredrar att inte kalla -1/12 för ”summan” av de positiva heltalen. Ett sätt att angripa problemet är med idén om analytisk fortsättning i komplex analys.

Säg att du har en funktion f(z) som är definierad någonstans i det komplexa planet. Vi kallar domänen där funktionen är definierad för U. Du kanske kommer på ett sätt att konstruera en annan funktion F(z) som är definierad i ett större område så att f(z)=F(z) närhelst z ligger i U. Så den nya funktionen F(z) stämmer överens med den ursprungliga funktionen f(z) överallt där f(z) är definierad, och den är definierad i vissa punkter utanför domänen för f(z). Funktionen F(z) kallas den analytiska fortsättningen av f(z). (”Den” är den lämpliga artikeln att använda eftersom den analytiska fortsättningen av en funktion är unik.)

Analytisk fortsättning är användbar eftersom komplexa funktioner ofta definieras som oändliga serier som involverar variabeln z. De flesta oändliga serier konvergerar dock bara för vissa värden på z, och det vore trevligt om vi kunde få funktioner att definieras på fler ställen. Den analytiska fortsättningen av en funktion kan definiera värden för en funktion utanför det område där definitionen av dess oändliga serie konvergerar. Vi kan säga 1+2+3…=-1/12 genom att i efterhand anpassa den analytiska fortsättningen av en funktion till dess ursprungliga definition av den oändliga serien, ett drag som bör åtföljas av en blinkning i Lucille Bluth-stil.

Funktionen i fråga är Riemanns zeta-funktion, som är känd för sina djupa kopplingar till frågor om fördelningen av primtal. När den reella delen av s är större än 1 definieras Riemanns zeta-funktion ζ(s) som Σ∞n=1n-s. (Vi brukar använda bokstaven z för variabeln i en komplex funktion. I det här fallet använder vi s i respekt för Riemann, som definierade zeta-funktionen i en artikel från 1859). Denna oändliga serie konvergerar inte när s=-1, men du kan se att när vi sätter in s=-1 får vi 1+2+3…. Riemanns zeta-funktion är den analytiska fortsättningen av denna funktion till hela det komplexa planet minus punkten s=1. När s=-1 är ζ(s)=-1/12. Genom att sätta ett likhetstecken mellan ζ(-1) och den formella oändliga serien som definierar funktionen i vissa andra delar av det komplexa planet får vi påståendet att 1+2+3…=-1/12.

Analytisk fortsättning är inte det enda sättet att associera talet -1/12 till serien 1+2+3…. För en mycket bra, djupgående förklaring av ett sätt som inte kräver komplicerad analys – komplett med hemläxor – kolla in Terry Taos inlägg i ämnet.

Videon från Numberphile störde mig eftersom de hade möjlighet att prata om vad det innebär att tilldela ett värde till en oändlig serie och förklara olika sätt att göra detta. Om du redan vet lite om ämnet kan du titta på videon och en längre relaterad video om ämnet och fånga godbitar av vad som egentligen pågår. Men videons ”wow”-faktor kommer från det faktum att det inte är logiskt att en massa positiva tal summerar till ett negativt tal om publiken antar att ”summa” betyder vad de tror att det betyder.

Om Numberphiles hade varit tydligare när det gäller alternativa sätt att associera tal till serier, hade de kunnat göra mer än att bara få folk att tro att matematiker alltid ändrar reglerna. I slutet av videon frågar producenten Brady Haran fysikern Tony Padilla om man skulle få -1/12 om man fortsatte att addera heltal i all oändlighet på sin miniräknare och tryckte på ”lika”-knappen i slutet. Padilla svarar fräckt: ”Du måste gå till oändligheten, Brady!”. Men svaret borde ha varit ”Nej!” Här tycker jag att de missade ett tillfälle att klargöra att de använder ett alternativt sätt att tilldela ett värde till en oändlig serie som skulle ha gjort videon mycket mindre vilseledande.

Andra personer har skrivit bra saker om matematiken i den här videon. Efter ett överdrivet godtroget Slate-blogginlägg om detta skrev Phil Plait en mycket mer sansad förklaring av de olika sätten att tilldela ett värde till en serie. Om du vill gå igenom detaljerna i ”beviset” på egen hand kan du läsa om det hos John Baez. Blake Stacey och Dr. Skyskull skriver om hur det kan vara användbart inom fysiken att ersätta summan av de positiva heltalen med talet -1/12. Richard Elwes skriver en ”hälsovarning” om oändliga serier som involverar min gamla favorit, den harmoniska serien. Jag tycker att spridningen av diskussionen om vad denna oändliga serie innebär är bra, även om jag önskar att mer av den diskussionen kunde ha varit med i videon, som hittills har mer än en miljon visningar på YouTube!