Gompertzfunktion

GompertzkurvaEdit

Populationsbiologin är särskilt intresserad av Gompertzfunktionen. Denna funktion är särskilt användbar för att beskriva den snabba tillväxten av en viss population av organismer samtidigt som den kan redogöra för den slutliga horisontella asymptoten, när bärkraften väl är bestämd (platåcells-/populationstal).

Den modelleras på följande sätt:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

var:

• t är tid
• N0 är den ursprungliga mängden celler
• NI är platåcells-/populationsantalet
• b är den ursprungliga hastigheten för tumörtillväxten

Denna funktion som beaktar platåcellsantalet gör att den är användbar när det gäller att noggrant efterlikna verkliga befolkningsdynamiker. Funktionen följer också den sigmoida funktionen, som är den mest allmänt accepterade konventionen för att generellt beskriva en befolknings tillväxt. Dessutom använder sig funktionen av den initiala tillväxthastigheten, vilket är vanligt förekommande i populationer av bakterie- och cancerceller, som genomgår logfasen och växer snabbt i antal. Trots sin popularitet är funktionen initial tillväxttakt för tumörer svår att förutbestämma med tanke på de varierande mikrokosmos som finns hos en patient, eller varierande miljöfaktorer när det gäller populationsbiologi. Hos cancerpatienter spelar faktorer som ålder, kost, etnicitet, genetiska anlag, ämnesomsättning, livsstil och metastaseringens ursprung en roll för att bestämma tumörens tillväxttakt. Bärförmågan förväntas också förändras baserat på dessa faktorer, och därför är det svårt att beskriva sådana fenomen.

Metabolisk kurvaEdit

Den metaboliska funktionen är särskilt inriktad på att redovisa ämnesomsättningshastigheten inom en organism. Denna funktion kan tillämpas för att övervaka tumörceller; ämnesomsättningshastigheten är dynamisk och är mycket flexibel, vilket gör den mer exakt när det gäller att detaljera cancertillväxt. Den metaboliska kurvan tar hänsyn till den energi som kroppen tillhandahåller för att upprätthålla och skapa vävnad. Denna energi kan betraktas som metabolism och följer ett specifikt mönster i celldelningen. Energikonservering kan användas för att modellera sådan tillväxt, oberoende av olika massor och utvecklingstider. Alla taxa delar ett liknande tillväxtmönster och denna modell tar följaktligen hänsyn till celldelningen, som är grunden för utvecklingen av en tumör.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}

• B = energi som organismen använder i vila
• NC = antal celler i den givna organismen
• BC= ämnesomsättning för en enskild cell
• NCBC= energi som krävs för att upprätthålla den existerande vävnad
• EC= energi som krävs för att skapa ny vävnad från en enskild cell

Differentieringen mellan energi som används i vila och ämnesomsättningshastighet arbete gör det möjligt för modellen att mer exakt bestämma tillväxttakten. Energin i vila är lägre än den energi som används för att upprätthålla en vävnad, och tillsammans representerar de den energi som krävs för att upprätthålla den befintliga vävnaden. Användningen av dessa två faktorer, tillsammans med den energi som krävs för att skapa ny vävnad, kartlägger tillväxthastigheten på ett heltäckande sätt och leder dessutom till en korrekt representation av fördröjningsfasen.

Tillväxt av tumörerRedigera

På 1960-talet använde A.K. Laird för första gången framgångsrikt Gompertz-kurvan för att passa in på data om tillväxt av tumörer. I själva verket är tumörer cellpopulationer som växer i ett begränsat utrymme där tillgången på näringsämnen är begränsad. Genom att beteckna tumörstorleken som X(t) är det användbart att skriva Gompertzkurvan på följande sätt:

X ( t ) = K exp ( log ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}

där:

• X(0) är tumörstorleken vid startobservationstidpunkten;
• K är bärkraft, dvs.dvs. den maximala storlek som kan uppnås med de tillgängliga näringsämnena. I själva verket är det så:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

oberoende av X(0)>0. Observera att i avsaknad av terapier osv. vanligtvis är X(0)<K, medan det i närvaro av terapier kan vara X(0)>K;

• α är en konstant som är relaterad till cellernas proliferativa förmåga.
• log() hänvisar till den naturliga loggen.

Det kan visas att dynamiken för X(t) styrs av Gompertz-differentialekvationen:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

d.v.s. har följande form när den bryts ner:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , med F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}

F(X) är den omedelbara spridningshastigheten hos cellpopulationen, vars minskande karaktär beror på konkurrensen om näringsämnena till följd av ökningen av cellpopulationen, på samma sätt som den logistiska tillväxthastigheten. Det finns dock en grundläggande skillnad: i det logistiska fallet är spridningshastigheten för små cellpopulationer ändlig:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }

då spridningshastigheten i Gompertz-fallet är obegränsad:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }

Som Steel och Wheldon noterade är cellpopulationens spridningshastighet i slutändan begränsad av celldelningstiden. Detta kan således vara ett bevis för att Gompertz-ekvationen inte är bra för att modellera tillväxten av små tumörer. På senare tid har man dessutom noterat att Gompertz och andra lagar som kännetecknas av obegränsad F(0), inklusive interaktionen med immunsystemet, skulle utesluta möjligheten till immunövervakning.

Den teoretiska studien av Fornalski m.fl. visade den biofysikaliska grunden för Gompertz-kurvan för cancertillväxt, med undantag för den mycket tidiga fasen, där en parabolisk funktion är mer lämplig. De fann också att Gompertz-kurvan beskriver det mest typiska fallet bland den breda familjen av funktioner för cancerdynamik.

Gompertz-tillväxt och logistisk tillväxtRedigera

Gompertz-differentialekvation

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) ). X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

är gränsfallet för den generaliserade logistiska differentialekvationen

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}

(där ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

är ett positivt verkligt tal) eftersom

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

Därtill kommer, finns det en vändpunkt i grafen för den generaliserade logistiska funktionen när

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}

och en i grafen för Gompertz-funktionen när

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}

.

Modellering av COVID-19-infektionsbananRedigera

Generaliserad logistisk funktion (Richards tillväxtkurva) vid epidemiologisk modellering

En generaliserad logistisk funktion, även kallad Richards tillväxtkurva, används ofta vid modellering av COVID-19-infektionsbanor. Infektionsbanan är en daglig tidsseriedata för det kumulativa antalet smittade fall för ett ämne som land, stad, stat osv. Det finns olika varianter av omparametrering i litteraturen: en av de ofta använda formerna är

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\\frac {\theta _{1}}}{^{1/\xi }}}}

varvid θ 1 , θ 2 , θ 3 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}

är reella tal och ξ {\displaystyle \xi }

är ett positivt reellt tal. Flexibiliteten hos kurvan f {\displaystyle f}

beror på parametern ξ {\displaystyle \xi }

: (i) om ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

så reduceras kurvan till den logistiska funktionen, och (ii) om ξ {\displaystyle \xi }

konvergerar mot noll, konvergerar kurvan till Gompertz-funktionen. Vid epidemiologisk modellering används θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, och θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}

står för den slutliga epidemiska storleken, infektionshastigheten respektive eftersläpningsfasen. Se den högra panelen för ett exempel på en infektionsbana när ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

betecknas med ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0.2,40)}

.

Extrapolerade infektionsbanor för 40 länder som drabbats hårt av COVID-19 och stort (befolknings-) medelvärde till och med den 14 maj

En av fördelarna med att använda en tillväxtfunktion, t.ex. en generaliserad logistisk funktion, i epidemiologisk modellering är att det är relativt enkelt att utvidga den till att gälla för en flerstegsmodell genom att använda tillväxtfunktionen för att beskriva infektionsbanor från flera olika ämnen (länder), städer, delstater osv.). Se figuren ovan. Ett sådant ramverk för modellering kan också allmänt kallas icke-linjära blandade effekter-modell eller hierarkisk icke-linjär modell.

Gomp-ex-lagen för tillväxtEdit

Med utgångspunkt i ovanstående överväganden föreslog Wheldon en matematisk modell för tumörtillväxt, kallad Gomp-Ex-modellen, som modifierar Gompertz-lagen något. I Gomp-Ex-modellen antas det att det inledningsvis inte finns någon konkurrens om resurser, så att cellpopulationen expanderar enligt den exponentiella lagen. Det finns dock en kritisk storlekströskel X C {\displaystyle X_{C}}

så att för X > X C {\displaystyle X>X_{C}}

. Antagandet att det inte finns någon konkurrens om resurserna stämmer i de flesta scenarier. Det kan dock påverkas av begränsande faktorer, vilket kräver att man skapar variabler för underfaktorer.

tillväxten följer Gompertz-lagen:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}}\right)\right)}

så att:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}

Här finns det några numeriska uppskattningar för X C {\displaystyle X_{C}}