Complexity Analysis of a Cournot-Bertrand Duopoly Game Model with Limited Information

Abstract

En Cournot-Bertrand-duopolspelmodell med begränsad information om marknaden och motståndaren beaktas, där marknaden har linjär efterfrågan och två företag har samma fasta marginalkostnad. Principerna för beslutsfattandet är avgränsat rationella. Det ena företaget väljer produktion och det andra väljer pris som beslutsvariabel, med antagandet att det finns en viss grad av differentiering mellan de produkter som företagen erbjuder för att undvika att hela marknaden upptas av det företag som tillämpar ett lägre pris. Förekomsten av en Nash-jämviktspunkt och spelets lokala stabilitet undersöks. Den komplexa dynamiken, t.ex. bifurkationsscenarier och vägen till kaos, visas med hjälp av parameterväxtdiagram genom numeriska experiment. Parametrarnas inverkan på systemets prestanda diskuteras ur ett ekonomiskt perspektiv.

1. Introduktion

Ett oligopol är en marknadsstruktur mellan monopol och perfekt konkurrens, där marknaden helt kontrolleras av endast ett fåtal företag som producerar samma eller homogena produkter. Om det finns två företag kallas det ett duopol och om det finns tre konkurrenter kallas det ett triopol.

Cournot oligopol och Bertrand oligopol är de två mest kända modellerna inom oligopolteorin. I Cournotmodellen kontrollerar företagen sin produktionsnivå, vilket påverkar marknadspriset, medan företagen i Bertrandmodellen väljer priset på en produktenhet för att påverka marknadens efterfrågan.

En stor del av litteraturen behandlar Cournot- eller Bertrandkonkurrens på oligopolistisk marknad , men det finns endast ett betydligt mindre antal arbeten som ägnas åt Cournot-Bertrand-konkurrens, som kännetecknas av att marknaden kan delas upp i två grupper av företag, varav den första optimalt justerar priserna och den andra optimalt justerar sin produktion för att säkerställa maximal vinst .

Cournot-Bertrand-modellen förekommer i realistisk ekonomi. På en duopolmarknad konkurrerar till exempel ett företag i en dominerande ställning och väljer produktionen som beslutsvariabel, medan det andra företaget är i underläge och väljer priset som beslutsvariabel för att vinna större marknadsandelar. Som vi hittills vet är Bylka och Komar samt Singh och Vives de första författarna som har analyserat duopol där det ena företaget konkurrerar om kvantiteter och det andra om priser. Häckner , Zanchettin och Arya et al. påpekade att Cournot-Bertrand-konkurrens i vissa fall kan vara optimal. Nyligen analyserade C. H. Tremblay och V. J. Tremblay produktdifferentieringens betydelse för de statiska egenskaperna hos Nash-jämvikten i ett Cournot-Bertrand-duopol. Naimzada och Tramontana undersökte en Cournot-Bertrand-duopolmodell som kännetecknas av linjära differensekvationer. De analyserade också den roll som dynamiken för bästa svar och den adaptiva anpassningsmekanismen spelar för jämviktens stabilitet.

I den här artikeln har vi skapat en Cournot-Bertrand-duopolmodell, där vi antar att två företag väljer produktion och pris som beslutsvariabler och att de alla har begränsade rationella förväntningar. Spelsystemet kan beskrivas med icke-linjära differensekvationer, vilket modifierar och utvidgar resultaten från Naimzada och Tramontana , som betraktade företag med statiska förväntningar och som beskrevs med linjära differensekvationer. Forskningen kommer att leda till en bra vägledning för företagens beslutsfattare så att de kan göra det bästa beslutsfattandet.

Dokumentet är organiserat enligt följande Cournot-Bertrand-spelsmodellen med bundna rationella förväntningar beskrivs i avsnitt 2. I avsnitt 3 studeras jämviktspunkternas existens och stabilitet. Dynamiska beteenden under vissa förändringar av spelets kontrollparametrar undersöks genom numeriska simuleringar i avsnitt 4. Slutligen dras en slutsats i avsnitt 5.

2. Cournot-Bertrand-spelsmodellen med begränsade rationella förväntningar

Vi betraktar en marknad som betjänas av två företag och företaget producerar varor , . Det finns en viss grad av differentiering mellan produkterna och . Företag 1 konkurrerar om produktionen som i ett Cournot-duopol, medan företag 2 fastställer sitt pris som i Bertrand-fallet. Anta att företagen gör sina strategiska val samtidigt och att varje företag känner till det andra företagets produktion och pris.

De omvända efterfrågefunktionerna för produkter av sort 1 och 2 kommer från den representativa konsumentens maximering av följande nyttofunktion: under budgetrestriktion och ges av följande ekvationer (för detaljerade bevis se ): där parametern anger indexet för produktdifferentiering eller produktsubstitution. Graden av produktdifferentiering ökar med . Produkterna och är homogena när , och varje företag är monopolist när , medan ett negativt värde innebär att produkterna kompletterar varandra. Anta att de två företagen har samma marginalkostnad , och att kostnadsfunktionen har linjär form: Vi kan skriva efterfrågesystemet i de två strategiska variablerna och : Företag 1 och 2:s vinstfunktioner har följande form:

Vi antar att de två företagen inte har fullständig kunskap om marknaden och den andra aktören, och att de fattar beslut på grundval av den förväntade marginalvinsten. Om marginalvinsten är positiv (negativ) ökar (minskar) de sin produktion eller sitt pris i nästa period. Då kan det blandade dynamiska Cournot-Bertrand-systemet beskrivas av de icke-linjära differensekvationerna: där och representerar de två aktörernas anpassningshastighet i respektive relation.

3. Jämviktspunkter och lokal stabilitet

Systemet (6) har fyra jämviktspunkter: där , . , , , , och är gränsjämviktspunkterna, och är den unika Nash-jämviktspunkten under förutsättning att och , som kräver . I annat fall kommer ett företag att lämna marknaden.

För att undersöka den lokala stabiliteten hos jämviktspunkterna, låt vara den jacobiska matrisen för system (6) som motsvarar tillståndsvariablerna , då där , . Stabiliteten hos jämviktspunkterna kommer att bestämmas av karaktären hos jämviktens egenvärden i den jakobiska matrisen som utvärderas vid motsvarande jämviktspunkter.

Proposition 1. Gränsekvivalenterna , , , och i system (6) är instabila jämviktspunkter när .

Bevis. För jämvikt , är den jacobiska matrisen för system (6) lika med Dessa egenvärden som motsvarar jämvikt är följande: Det är uppenbart att , då är jämviktspunkten instabil.
Också när den jacobiska matrisen blir en triangulär matris Dessa egenvärden som motsvarar jämvikt är följande: När , är uppenbarligen . Då är jämviktspunkten instabil. På samma sätt kan vi bevisa att den också är instabil.

Från en ekonomisk synvinkel är vi mer intresserade av att studera de lokala stabilitetsegenskaperna hos Nash-jämviktspunkten , vars egenskaper har analyserats ingående i .

Den jacobiska matrisen som utvärderas vid Nash-jämviktspunkten ser ut på följande sätt

Spåren och bestämningsfaktorn för betecknas som och , respektive. När det gäller punkten , , och , är det nu svårare att explicit beräkna egenvärdena, men det är fortfarande möjligt att utvärdera stabiliteten hos Nash-jämviktspunkten med hjälp av följande stabilitetsvillkor, kända som Jurys villkor : Ovanstående olikheter definierar ett område där Nash-jämviktspunkten är lokalt stabil. Vi kan också lära oss mer om stabilitetsområdet genom numeriska simuleringar. För att studera den komplexa dynamiken i system (6) är det lämpligt att ta parametervärdena på följande sätt: Figur 1 visar stabilitets- och instabilitetsregionerna i parametervärdena. Av figuren framgår att en alltför snabb justering gör att Nash-jämviktspunkten förlorar sin stabilitet. Vi finner också att prisets anpassningshastighet är mer känslig än produktionens hastighet, och att Nash-jämviktspunkten kommer att förlora sin stabilitet när den är omkring , medan Nash-jämviktspunkten kommer att göra det när den är omkring .

Figur 1

Stabilitets- och instabilitetsområdet.

4. Parametrarnas inverkan på systemets stabilitet

Parameterbassängdiagrammen (även kallade 2D-bifurkationsdiagram) är ett kraftfullare verktyg i den numeriska analysen av icke-linjär dynamik än 1D-bifurkationsdiagrammen , som tilldelar olika färger i ett 2D-parameterutrymme till stabila cykler med olika perioder. I det här avsnittet kommer diagrammen för parameterbassängen att användas för att analysera effekterna av aktörernas anpassningshastighet och indexet för produktdifferentiering på systemets stabilitet. Vi ställer in och de initiala värdena väljs som .

4.1. Effekterna av spelarnas anpassningshastighet på systemets stabilitet

I figur 2 presenteras parameterbassängen med avseende på parametrarna när och tilldelar olika färger till stabila stabila tillstånd (mörkblått); stabila cykler i perioderna 2 (ljusblått), 4 (lila) och 8 (grönt) (de fyra första cyklerna i en periodfördubblad bifurkationsväg till kaos) och perioderna 3 (rött), 5 (orange) och 7 (rosa) (stabila cykler av låg ordning i udda perioder); kaos (gult); divergens (vitt) (vilket innebär att en av aktörerna kommer att försvinna från marknaden i ekonomi).

Figur 2

Parameterbassängen för .

Vi kan konstatera att när parametrarna passerar genom gränserna som de svarta pilarna och , förlorar systemet (6) sin stabilitet genom en flip-bifurkation (kallad periodfördubblingsbifurkation i kontinuerliga system), vilket visas i figurerna 3 och 4. Men när parametrarna passerar gränserna som pilen är systemets dynamiska beteende mer komplicerat, och det går först in i kaos genom Neimark-Sacker-bifurkation (kallad Hopf-bifurkation i kontinuerliga system), sedan går det in i period 2 och utvecklas sedan till kaos genom flip-bifurkation separat, vilket visas i figur 5. Vi noterar också att det i den gula regionen (kaos) finns en röd linje och orange punkter (udda cykel), dvs. det finns en intermittent udda cykel i kaoset enligt figurerna 3 till 5. Det är välkänt att för 1D-kontinuerliga kartor innebär en cykel med udda period ett kaotiskt dynamiskt beteende (det så kallade topologiska kaoset) i enlighet med det berömda resultatet ”period 3 innebär kaos” av Li och Yorke .

Figur 3

Bifurkationsdiagram för och varierar från 1,5 till 3,5.

Från ekonomins perspektiv bör företagens anpassningshastighet och ligga inom ett visst intervall; annars kommer systemet att komma fram till cykliska fluktuationer och sedan in i kaos, vilket innebär oregelbunden, känslig för initiala värden, oförutsägbar och dålig för ekonomin. Vi finner också att det justerbara intervallet för är större än för , vilket innebär att justeringen av priset är känsligare än justeringen av produktionen, och att priskrig är lättare att få marknaden att hamna i kaos.

4.2. Effekterna av indexet för produktdifferentiering på systemets stabilitet

För att finna hur indexet för produktdifferentiering påverkar systemets stabilitet, visas i figurerna 6, 7, 8 och 9 parameterbassängerna för , , , och separat.

Figur 6

Parameterns bassänger för .

Från jämförelsen kan vi se att det mörkblå området blir större och det gula området blir mindre när indexet för produktdifferentiering ökar; det vill säga graden av produktdifferentiering är mindre och det justerbara intervallet för parametrar och för att få systemet att förbli stabilt kommer att bli större, vilket innebär mer konkurrens mellan de två företagens produkter.

5. Slutsatser

I det här dokumentet föreslår vi en Cournot-Bertrand-modell för blandade spel, där vi antar att företagen inte har fullständig information om marknaden och motståndaren, och att de fattar sina beslut i enlighet med sin egen marginalvinst. Efterfråge- och kostnadsfunktionen antas vara linjär och modellen kan beskrivas med differensekvationer. Gränsjämvikten är alltid instabil och Nash-jämviktens existens och lokala stabilitet analyseras. Dessutom analyserar vi effekterna av parametrarna (anpassningshastighet och index för produktdifferentiering) på systemets stabilitet, och olika bifurkationer och vägar till kaos analyseras med hjälp av parameterbassängdiagram. Cournot-Bertrand-spelsmodellerna under olika marknadsföringsmiljöer måste beaktas, och det kommer att vara ett intressant ämne för framtida studier.

Acknowledgments

Författarna tackar granskarna för deras noggranna läsning och för att de har gett några relevanta förslag. Forskningen stöddes av National Natural Science Foundation of China (nr 61273231).