Argandplanet och polär representation

Förut sa vi att de komplexa talen är tal som kanske inte faller på tallinjen! Vi såg också att varje reellt tal också är ett komplext tal med imaginärdelen = 0. Hur kan vi representera dessa tal grafiskt? Vad är argumentet för ett komplext tal? Låt oss svara på detta i det här avsnittet.

Föreslagna videor för dig

Argandplanet

I tidigare lektioner läste ni om tallinjen. Det är ett bekvämt sätt att representera reella tal som punkter på en linje. På samma sätt har du läst om det kartesiska koordinatsystemet. Det är en uppsättning av tre sinsemellan vinkelräta axlar och ett bekvämt sätt att representera en uppsättning tal (två eller tre) eller en punkt i rummet.

Låt oss börja med tallinjen. Tänk dig att du är någon slags matematikgud och att du just har skapat de verkliga talen. Det råkade vara så att du ritade en annan linje vinkelrätt mot den reella axeln. Vad kommer denna linje att vara? Den är definitivt inte verklig. Därför måste den vara imaginär eller den komplexa linjen.

Därmed har vi ett sätt att representera alla imaginära tal grafiskt. Allt vi behöver göra är att hitta dess reella del och en imaginär del. För det andra representerar vi dem på de två sinsemellan vinkelräta tallinjerna. Skärningspunkten, som visas ovan, är ursprunget för vårt plan.

Det plan som bildas på detta sätt kallas Argandplanet och är ett bekvämt sätt att grafiskt representera alla imaginära tal. Låt z = x + iy. Då är Re(z) = x och Im(z) = y.

• Grunderna för komplexa tal
• Operationer på komplexa tal
• Modul och konjugat av ett komplext tal
• Komplexa kvadratiska ekvationer

Det ordnade paret (x,y) som representeras på Argandplanet representerar en punkt. Denna punkt motsvarar vårt komplexa tal z. Vi drar en riktad linje från O till punkten P(x,y) som representerar z. Låt θ vara den vinkel som denna linje bildar med den positiva riktningen för den ”reella axeln”. Därför är (90 – θ) den vinkel som linjen bildar med den ”imaginära axeln”. Detta är något viktigt, så håll det till hands!

Argument för z

Som redan konstaterats kan varje komplext tal representeras någonstans på Argandplanet. Detta följer av det faktum att under vår algebra är komplexa tal slutna. Föreställ dig att du representerar två tal, z1 = 2 +3i och z2 = 2 – 3i. Vi kan se att |z1| = |z2|. Hoppsan! Vad har vi gjort? Om du plottar de två punkterna (2, 3) och (2, -3) kommer du att se att de är symmetriska över och under de reella axlarna. Vi kallar dem för varandras spegelbilder.

Hur ser vi skillnaden mellan dem? Vi introducerar en annan storhet som kallas argumentet för z1 och z2. Det definieras som den vinkel ”θ” som den linje som förbinder punkten P (som representerar vårt komplexa tal) och ursprunget O, bildar med den positiva riktningen av de ”reella axlarna”. Detta ger varje komplext tal en unik känsla av en riktning eller orientering på Argandplanet. Därför kan vi unikt representera varje punkt på Argandplanet.

Modul för ett komplext tal

I ett tidigare avsnitt definierade vi modulen för ett imaginärt tal z = a + ib som |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Här ska vi se att denna definition passar perfekt med den geometriska representationen av de komplexa talen.

I figuren ovan antar vi att pilspetsen är P (a, b), där P representerar talet z = a + ib. Då kan man ta reda på längden på OP genom att använda avståndsformeln som = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2} \)

Därmed kan vi säga att OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Modulen är alltså längden på det linjesträck som förbinder den punkt som motsvarar vårt komplexa tal med Argandplanets ursprung. Som du kan se är den alltid positiv, därför kallar vi den modulus. Allt faller på plats nu, eller hur?

Du kan ladda ner komplexa tal fusklapp genom att klicka på nedladdningsknappen nedan

Polär representation

Vi har olika typer av koordinatsystem. Ett av dem är det polära koordinatsystemet. Det är bara en uppsättning av ömsesidigt vinkelräta linjer. Ursprunget kallas polen. Vi mäter läget för en punkt genom att mäta längden på den linje som förbinder den med ursprunget och den vinkel som linjen bildar med en angiven axel. Om vi till exempel känner till värdet av φ och r kan vi lokalisera P. Dessa är polarkoordinaterna, r och φ.

Samma sak gäller om vi känner till argumentet för ett komplext tal i Argandplanet och längden OP, kan vi lokalisera nämnda tal. Låt r = OP. Vi vet också att OP = |z| = r ; där z = x + iy

Koordinaterna för P är (x, y). I den rätvinkliga triangeln ser vi att x = r cos(θ) och y = r sin(θ). Så vi kan skriva, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Detta, mina kära vänner, är den polära representationen av vårt komplexa tal z = x + iy med:

Arg(z) = θ och |z| = r

Nu är y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Därmed θ = tan-1(y/x)

Med hjälp av denna relation kan vi hitta argumentet för ett komplext tal.

Lösta exempel för dig

Fråga 1: Om z = -2(1+2i)/(3 + i) där i= \( \sqrt{-1} \), så är argumentet θ(-π < θ ≤ π) för z:

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4} \)

Svar: D) Eftersom z = -2(1+2i)/(3 + i)

Multiplicerar man och dividerar med (3 – i) får man

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Varför man jämför detta med z = x + iy, har vi x = -1 och y = -1

Därmed är θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4} \)

Varför inte \( \frac{π}{4} \)? Därför att både x och y är negativa. Detta innebär att punkten P ligger i den tredje kvadranten nu. Därför är θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Fråga 2: Vad är den grundläggande strukturen i ett argument?

Svar: Argumentet består av minst en premiss som inte leder till en slutsats. Dessutom består det av minst en premiss och en felaktighet som vi använder för att stödja en slutsats. Dessutom består ett argument av premisser som används för att stödja en slutsats.

Fråga 3: Vad är en argumentlista?

Svar: Argument hänvisar till en lista som vi uttryckeri den kommaseparerade listan som avgränsas av parenteserna i ett funktionsanropsuttryck, eller så är det en sekvens av behandlingstoken i den kommaseparerade listan som avgränsas av interpolationerna i ett funktionsliknande makroanrop.

Fråga 4: Vad är skillnaden mellan huvudargumentet och argumentet?

Svar: Argumentet är en lista som vi uttrycker i den kommaseparerade listan som avgränsas av interpolationerna i ett funktionsliknande makroanrop: Det värde som ligger mellan -pi och pi kallas huvudargumentet för ett komplext tal. Dessutom är värdet sådant att -π < θ = π. Dessutom är θ en periodisk funktion med en period på 2π, så vi kan representera detta argument som (2nπ + θ), där n är ett heltal och detta är ett allmänt argument.

Fråga 5: Vad är argumentet för ett reellt tal?

Svar: Svar: Det är den vinkel som vektorn och det komplexa talet bildar med den positiva reella axeln. När det reella talet är positivt är svaret också ditt vinkelmått.