4.3: Kompressibilitet och expansivitet

Avleda ett uttryck för en partiell derivata (typ I): Den reciproka regeln

Tänk på ett system som beskrivs av tre variabler och för vilket man kan skriva en matematisk begränsning på variablerna

\

Under dessa omständigheter kan man specificera systemets tillstånd genom att variera endast två parametrar oberoende av varandra, eftersom den tredje parametern kommer att ha ett fast värde. Som sådan kan man definiera två funktioner: \(z(x, y)\) och \(y(x,z)\).

Detta gör att man kan skriva de totala differentialerna för \(dz\) och \(dy\) på följande sätt

\

och

Substituera uttrycket i ekvation \ref{eq6} i ekvation \ref{eq5}:

\ \\ \\ &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y} \right y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz \label{eq7} \end{align}\]

Om systemet genomgår en förändring som följer en väg där \(x\) hålls konstant (\(dx = 0\)), förenklas detta uttryck till

\\

Och så för förändringar för vilka \(dz \neq 0\),

\

Denna reciproka regel är mycket praktisk vid hantering av partiella derivat. Men den kan också härledas på ett okomplicerat, om än mindre rigoröst, sätt. Börja med att skriva den totala differensen för \(z(x,y)\) (Ekvation \ref{eq5}):

\

Nu dividerar du båda sidorna med \(dz\) och begränsar till konstant \(x\).

Notera att

\

och

\

Ekvation \ref{eq10} blir

eller

Denna ”formella” metod för manipulering av partiella derivata är bekväm och användbar, även om den inte är matematiskt rigorös. Den fungerar dock för den typ av partiella derivat som förekommer i termodynamik eftersom variablerna är tillståndsvariabler och differentialerna är exakta.