Vectori ortonormali

Ce este un vector ortonormal?

Se spune că un vector este normal dacă are lungimea de unu. Se spune că doi vectori sunt ortogonali dacă sunt în unghiuri drepte unul față de celălalt (produsul lor de puncte este zero). Un set de vectori se spune că este ortonormal dacă toți sunt normali, iar fiecare pereche de vectori din set este ortogonală.

Vectori ortonormali sunt de obicei folosiți ca bază pe un spațiu vectorial. Stabilirea unei baze ortonormale pentru date facilitează semnificativ calculele; de exemplu, lungimea unui vector este pur și simplu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor acelui vector în raport cu o anumită bază ortonormală.

Decompoziția QR

Decompoziția QR a unei matrice pătrate reale A este procesul de găsire a două matrici Q și R astfel încât:

• A = QR

• Q este o matrice ortogonală

• R este o matrice triunghiulară superioară

(dacă A este o matrice pătrată complexă, sau este o matrice dreptunghiulară, atunci Q va fi o matrice unitară.)

Există o serie de metode pentru calcularea unei descompuneri QR pentru o matrice, inclusiv procesul Gram-Schmidt, transformările Householder sau rotațiile Givens. Fiecare metodă are avantaje și dezavantaje, astfel încât implementatorii ar trebui să studieze cu atenție fiecare dintre acești algoritmi pentru o anumită problemă.

Descompunerea QR este adesea utilizată în soluționarea problemei celor mai mici pătrate liniare. Este, de asemenea, baza unui algoritm de găsire a vectorilor proprii, numit pe bună dreptate algoritmul QR (deși, în mod ironic, forma modernă a algoritmului nu implică de fapt calcularea unei descompuneri QR!)

.