Punctul de echilibru

Punctul x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}în \mathbb {R} ^{n}}}

este un punct de echilibru pentru ecuația diferențială d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

if f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }

pentru toate t {\displaystyle t}

.

Similar, punctul x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}în \mathbb {R} ^{n}}

este un punct de echilibru (sau punct fix) pentru ecuația diferențială x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}

pentru k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Echilibrele pot fi clasificate observând semnele valorilor proprii ale liniarizării ecuațiilor despre echilibre. Altfel spus, prin evaluarea matricei Jacobian în fiecare dintre punctele de echilibru ale sistemului și apoi găsirea valorilor proprii rezultate, echilibrele pot fi clasificate. Apoi, comportamentul sistemului în vecinătatea fiecărui punct de echilibru poate fi determinat calitativ (sau chiar cantitativ, în unele cazuri), prin găsirea vectorului (vectorilor) propriu(i) asociat(i) cu fiecare valoare proprie.

Un punct de echilibru este hiperbolic dacă niciuna dintre valorile proprii nu are partea reală zero. Dacă toate valorile proprii au partea reală negativă, punctul de echilibru este o ecuație stabilă. Dacă cel puțin una are partea reală pozitivă, echilibrul este un nod instabil. Dacă cel puțin o valoare proprie are partea reală negativă și cel puțin una are partea reală pozitivă, echilibrul este un punct de șa.

.