Planul Argand și reprezentarea polară

Am spus mai devreme că numerele complexe sunt numere care pot să nu se încadreze pe linia numerelor! Am văzut, de asemenea, că orice număr real este și un număr complex cu partea imaginară = 0. Cum putem reprezenta grafic aceste numere? Care este argumentul unui număr complex? Să răspundem în această secțiune.

VIDEO-uri sugerate pentru tine

Argand Plane

În cursurile anterioare, ați citit despre linia numerelor. Aceasta este o modalitate convenabilă de a reprezenta numerele reale ca puncte pe o dreaptă. În mod similar, ați citit despre sistemul de coordonate carteziene. Este un set de trei axe reciproc perpendiculare și un mod convenabil de a reprezenta un set de numere (două sau trei) sau un punct în spațiu.

Să începem cu linia numerelor. Imaginați-vă că sunteți un fel de zeu al matematicii și că tocmai ați creat numerele reale. Se întâmplă că ați trasat o altă linie perpendiculară pe axa numerelor reale. Care va fi această linie? Cu siguranță nu este reală. Prin urmare, trebuie să fie imaginară sau linia complexă.

Acum avem o modalitate de a reprezenta grafic orice număr imaginar. Tot ce trebuie să facem este să găsim partea sa reală și o parte imaginară. În al doilea rând, le reprezentăm pe cele două drepte numerice reciproc perpendiculare. Punctul de intersecție, așa cum se arată mai sus, este originea Planului nostru.

Planul astfel format este cunoscut sub numele de Planul Argand și este un mod convenabil de a reprezenta grafic orice număr imaginar. Fie z = x + iy. Atunci Re(z) = x și Im(z) = y.

• Bazele numerelor complexe
• Operații asupra numerelor complexe
• Modulul și conjugatul unui număr complex
• Ecuații pătratice complexe

Partea ordonată (x,y) reprezentată pe planul Argand va reprezenta un punct. Acest punct corespunde numărului nostru complex z. Trasăm o dreaptă orientată de la O la punctul P(x,y) care reprezintă z. Fie θ unghiul pe care această dreaptă îl face cu direcția pozitivă a „Axei reale”. Prin urmare, (90 – θ) este unghiul pe care aceasta îl face cu „Axa imaginară”. Acest lucru este oarecum important, așa că păstrați-l la îndemână!”

Argumentul lui z

După cum s-a stabilit deja, fiecare număr complex poate fi reprezentat undeva pe planul Argand. Acest lucru rezultă din faptul că, sub operația Algebrei noastre, numerele complexe sunt închise. Imaginați-vă că reprezentați două numere, z1 = 2 +3i și z2 = 2 – 3i. Putem vedea că |z1| = |z2|. Oops! Ce am făcut? Dacă reprezentați grafic cele două puncte (2, 3) și (2, -3), veți constata că ele sunt simetrice deasupra și dedesubtul axelor reale. Le numim imagini în oglindă una a celeilalte.

Cum facem diferența între ele? Introducem o altă mărime numită Argument al lui z1 și z2. Acesta este definit ca fiind unghiul „θ” pe care îl face dreapta care unește punctul P (reprezentând numărul nostru complex) și originea O, cu direcția pozitivă a „Axelor reale”. Acest lucru conferă fiecărui număr complex un sens unic al unei direcții sau orientări pe planul Argand. Prin urmare, putem reprezenta în mod unic fiecare punct de pe Planul Argand.

Modulul unui număr complex

Într-o secțiune anterioară am definit modulul unui număr imaginar z = a + ib ca fiind |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Aici vom vedea că această definiție se potrivește perfect cu reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

În figura de mai sus, să presupunem că vârful de săgeată este P (a, b), unde P reprezintă numărul z = a + ib. Atunci lungimea lui OP poate fi aflată folosind formula distanței ca = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2}}. \)

În consecință, putem spune că OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Deci modulul este lungimea segmentului de dreaptă care unește punctul, corespunzător numărului nostru complex, cu originea planului Argand. După cum puteți vedea, este întotdeauna pozitivă, de aceea o numim modul. Totul se potrivește acum, nu-i așa?

Puteți descărca Cheat Sheet Numere complexe făcând clic pe butonul de descărcare de mai jos

Reprezentarea polară

Avem diferite tipuri de sisteme de coordonate. Unul dintre ele este sistemul de coordonate polare. Acesta este doar un set de linii reciproc perpendiculare. Originea se numește Polul. Măsurăm poziția oricărui punct prin măsurarea lungimii liniei care îl leagă de origine și a unghiului pe care îl face linia cu o axă specificată. De exemplu, dacă cunoaștem valoarea lui φ și r putem localiza P. Acestea sunt coordonatele polare, r și φ.

În mod similar, dacă cunoaștem Argumentul unui număr complex în Planul Argand și lungimea OP, putem localiza numărul respectiv. Fie r = OP. De asemenea, știm că OP = |z| = r ; unde z = x + iy

Coordonatele lui P sunt (x, y). În triunghiul dreptunghic vedem că x = r cos(θ) și y = r sin(θ). Deci putem scrie, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Aceasta, dragi prieteni, este reprezentarea polară a numărului nostru complex z = x + iy cu:

Arg(z) = θ și |z| = r

Acum y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Deci, θ = tan-1(y/x)

Utilizând această relație, putem găsi argumentul unui număr complex.

Exemple rezolvate pentru voi

Întrebare 1: Dacă z = -2(1+2i)/(3 + i) unde i= \( \sqrt{-1} \), atunci argumentul θ(-π < θ ≤ ≤ π) al lui z este:

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4} \)

Răspuns : D) Cum z = -2(1+2i)/(3 + i)

Multiplicând și împărțind cu (3 – i), obținem

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Comparând cu z = x + iy, avem x = -1 și y = -1

Din acest motiv, θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4} \)

De ce nu \( \frac{π}{4} \)? Ei bine, pentru că, atât x cât și y sunt negative. Acest lucru înseamnă că punctul P se află acum în cadranul al treilea. Prin urmare, θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Întrebarea 2: Care este structura de bază a unui argument?

Răspuns: Argumentul este format din cel puțin o premisă care nu conduce la o concluzie. În plus, constă din cel puțin o premisă și o eroare pe care o folosim pentru a susține o concluzie. Mai mult, un argument constă din premise pe care le folosim pentru a susține o concluzie.

Întrebare 3: Ce este lista de argumente?

Răspuns: Ce este lista de argumente? Argumentul se referă la o listă pe care o exprimămîn lista separată prin virgulă delimitată de paranteze într-o expresie de apelare a unei funcții, sau este o secvență de jetoane de procesare în lista separată prin virgulă delimitată de interpolări într-o invocare de macro de tip funcție.

Întrebarea 4: Care este diferența dintre argumentul principal și argument?

Răspuns: Valoarea care se află între -pi și pi se numește argument principal al unui număr complex. Mai mult, valoarea este astfel încât -π < θ = π. În plus, θ este o funcție periodică cu perioada 2π, astfel încât putem reprezenta acest argument sub forma (2nπ + θ), unde n este un număr întreg și acesta este un argument general.

Întrebare 5: Care este argumentul unui număr real?

Răspuns: Ce este argumentul unui număr real?

Răspuns: Este unghiul pe care îl fac vectorul și numărul complex cu axa reală pozitivă. De asemenea, când numărul real este pozitiv, atunci răspunsul este măsura unghiului tău.