MathBootCamps

Ecuațiile liniare într-o singură variabilă sunt ecuații în care variabila are exponentul 1, care de obicei nu se arată (se înțelege). Un exemplu ar fi ceva de genul \(12x = x – 5\). Pentru a rezolva ecuații liniare, există un obiectiv principal: izolarea variabilei. În această lecție, vom vedea cum se face acest lucru prin mai multe exemple.

Tabloul de materii

1. Exemple de rezolvare a ecuațiilor cu un singur pas
2. Exemple de rezolvare a ecuațiilor cu doi pașiecuații în doi pași
3. Exemple de ecuații în care trebuie să simplificați mai întâi
4. Soluții infinit de multe sau fără soluții
5. Rezumat

Exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare într-un singur pas

După toată strădania ta de a rezolva ecuația, știți că doriți un răspuns final de tipul \(x=5\) sau \(y=1\). În ambele cazuri, variabila este izolată, sau de una singură.

Atunci trebuie să ne dăm seama cum să izolăm variabila. Modul în care facem acest lucru depinde de ecuația însăși! Dacă a fost înmulțită cu ceva, o vom împărți. Dacă i s-a adăugat ceva, vom scădea. Făcând acest lucru, vom obține încet-încet variabila de la sine.

Să folosim un exemplu pentru a vedea cum funcționează acest lucru.

Exemplu

Solvați ecuația: \(4x = 8\)

Soluție

În acest exemplu, 4 se înmulțește cu \(x\). Prin urmare, pentru a izola \(x\), trebuie să împărțiți acea parte cu 4. Când faceți acest lucru, trebuie să vă amintiți o regulă importantă: orice faceți cu o parte a ecuației, trebuie să faceți și cu cealaltă parte. Așadar, vom împărți ambele părți la 4.

\(\begin{align}4x &= 8 \\ \ \dfrac{4x}{\color{red}{4}}. &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}\end{align}}})

Simplificând:

\(x = \boxed{2}})

Asta este, un singur pas și am terminat. (Acesta este motivul pentru care ecuațiile de genul acesta sunt adesea numite ecuații „cu un singur pas”)

Verificare

De fiecare dată când rezolvați ecuații liniare, puteți oricând să vă verificați răspunsul înlocuindu-l înapoi în ecuație. Dacă obțineți o afirmație adevărată, atunci răspunsul este corect. Acest lucru nu este 100% necesar pentru fiecare problemă, dar este un obicei bun, așa că îl vom face pentru ecuațiile noastre.

În acest exemplu, ecuația noastră inițială a fost \(4x = 8\). Pentru a verifica acest lucru, verificați dacă următoarele sunt adevărate:

\(\begin{align}4x &= 8\\ 4(2) &= 8 \\ 8 &= 8\end{align}\)

Aceasta este o afirmație adevărată, deci răspunsul nostru este corect.

Pentru orice ecuație, orice operație pe care o faci pe o parte trebuie făcută și pe cealaltă parte

Să mai încercăm câteva exemple înainte de a trece la ecuații mai complexe.

Exemplu

Soluționează: \(3x=12\)

Soluție

Din moment ce \(x\) este înmulțită cu 3, planul este de a împărți cu 3 de ambele părți:

\(\begin{align}3x &=12\\ \dfrac{3x}{{\color{red}{3}}. &=\dfrac{12}{\color{red}{3}}\\ x&= \boxed{4}\end{align}\)

Verifică

Pentru a verifica răspunsul nostru, vom lăsa \(x = 4\) și îl vom înlocui din nou în ecuație:

\(\begin{align}3x &= 12\\3(4) &= 12 \\ 12 &= 12\end{align}\)

La fel ca mai înainte, deoarece aceasta este o afirmație adevărată, știm că răspunsul nostru este corect.

În exemplul următor, în loc ca variabila să fie înmulțită cu o valoare, o valoare este scăzută din variabilă. Pentru a „anula” acest lucru, vom adăuga acea valoare la ambele părți.

Exemplu

Rezolvați: \(y-9=21\)

Soluție

De data aceasta, 9 este sustras din y. Deci, vom anula acest lucru adăugând 9 la ambele părți.

\(\begin{align}y-9&=21\\\ y-9 \color{red}{+9}&=21\color{red}{+9}\y&=30\end{align}\)

În continuare ne vom uita la ceea ce se numește în mod obișnuit ecuații „în doi pași”. În aceste ecuații, va trebui să desfacem două operații pentru a izola variabila.

Exemple de ecuații în doi pași

În fiecare dintre exemplele de mai sus, a existat un singur pas de efectuat înainte de a avea răspunsul nostru. În următoarele exemple, veți vedea cum să lucrați cu ecuații care au în schimb doi pași. În cazul în care există mai mult de o operație, este important să rețineți ordinea operațiilor, PEMDAS. Din moment ce anulați operațiile la \(x\), veți lucra de la „afară înăuntru”. Acest lucru este mai ușor de înțeles atunci când îl vedeți într-un exemplu.

Exemplu

Solvați: \(2x-7=13\)

Soluție

Observați cele două operații care se întâmplă cu \(x\): este înmulțit cu 2 și apoi i se scade 7. Va trebui să anulăm aceste operații. Dar, doar \(x\) este înmulțit cu 2, așa că primul pas va fi să adăugăm 7 la ambele părți. Apoi putem împărți ambele părți la 2.

Adunând 7 la ambele părți:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\ 2x-7 \color{red}{{+7} & =13 \color{red}{+7}\ 2x&=20\end{align}\)

Acum împărțiți ambele părți la 2:

\(\begin{align} 2x &=20 \\ \ \dfrac{2x}{\color{red}{2}}&=\dfrac{20}{\color{red}{2}}\\ x&= \boxed{10}\end{align}\)

Verifică

La fel ca în cazul problemelor mai simple, vă puteți verifica răspunsul înlocuind valoarea lui \(x\) înapoi în ecuația inițială.

\(\begin{align}2x-7&=13\\\ 2(10) – 7 &= 13\\ 13 &= 13\end{align}\)

Acest lucru este adevărat, deci avem răspunsul corect.

Să ne uităm la încă un exemplu în doi pași înainte de a sări din nou în dificultate. Asigurați-vă că înțelegeți fiecare pas arătat și că lucrați și la problemă.

Exemplu

Soluționați: \(5w + 2 = 9\)

Soluție

Ca și mai sus, există două operații: \(w\) se înmulțește cu 5 și apoi i se adaugă 2. Vom anula aceste operații scăzând mai întâi 2 din ambele părți și apoi împărțind la 5.

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\ 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2}\ 5w &= 7\\ \dfrac{5w}{{\color{red}{5}}. &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}\end{align}\)

Fracția din dreapta nu poate fi simplificată, deci acesta este răspunsul nostru final.

Verificare

Să fie \(w = \dfrac{7}{5}\). Atunci:

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\ 5\stânga(\dfrac{7}{5}\dreapta) + 2 &= 9\ 7 + 2 &= 9\ 9\ 9 &= 9 \end{align}\)

Înseamnă că avem din nou răspunsul corect!

Simplificarea înainte de rezolvare

În exemplele următoare, există mai mulți termeni variabili și, eventual, trebuie să aibă loc o simplificare. În fiecare caz, pașii vor fi mai întâi simplificarea ambelor părți, apoi utilizarea a ceea ce am făcut până acum pentru a izola variabila. Vom examina mai întâi în profunzime un exemplu pentru a vedea cum funcționează toate acestea.

Pentru a înțelege această secțiune, ar trebui să vă simțiți confortabil cu combinarea termenilor asemănători.

Exemplu

Solvați: \(3x+2=4x-1\)

Soluție

Din moment ce ambele părți sunt simplificate (nu există paranteze pe care trebuie să le deslușim și nici termeni asemănători pe care să îi combinăm), următorul pas este să obținem toate x-urile de pe o parte a ecuației și toate numerele de pe cealaltă parte. Se aplică aceeași regulă – tot ceea ce faceți pe o parte a ecuației, trebuie să faceți și pe cealaltă parte!

Este posibil să mutați fie \(3x\), fie \(4x\). Să presupunem că ați mutat \(4x\). Deoarece este pozitiv, ați face acest lucru scăzându-l din ambele părți:

\(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{red}{-4x}\ -x+2 & =-1\end{align}\)

Acum ecuația arată ca cele care au fost lucrate înainte. Următorul pas este să scădem 2 din ambele părți:

\(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\-x=-3\end{align}\)

În cele din urmă, deoarece \(-x= -1x\) (acest lucru este întotdeauna adevărat), împărțim ambele părți cu \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}\\\ x&=3\end{align}\)

Verifică

Ar trebui să vă luați un moment și să verificați dacă următoarea afirmație este adevărată:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

În următorul exemplu, va trebui să folosim proprietatea distributivă înainte de a rezolva. Este ușor să faceți o greșeală aici, așa că asigurați-vă că distribuiți numărul din fața parantezelor la toți termenii dinăuntru.

Exemplu

Soluționează: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Soluție

În primul rând, distribuiți 3 și -3, și adunați termenii asemănători.

\(\begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\\ 3x+5&=-2x-3\end{align}\)

Acum putem adăuga 2x la ambele părți. (Amintiți-vă că veți obține același răspuns dacă în schimb ați scădea 3x din ambele părți)

\(\begin{align} 3x+5\color{red}{+2x} &=-2x-3\color{red}{+2x}\ 5x+5& =-3\end{align}\)

De aici, putem rezolva așa cum am făcut cu alte ecuații în doi pași.

\(\begin{align}5x+5\color{red}{-5} &=-3\color{red}{-5}\ 5x &=-8\\ \dfrac{5x}{\color{red}{5}}&=\dfrac{-8}{\color{red}{5}}\ x &= \dfrac{-8}{5} \\ &=\boxed{-\dfrac{8}{5}}\end{align}\)

Verifică

Aceasta a fost una dificilă, așa că nu uitați să vă verificați răspunsul și să vă asigurați că nu ați făcut nicio greșeală. Pentru a face acest lucru, vă veți asigura că următoarea afirmație este adevărată:

\(3\left(-\dfrac{8}{5}{5}+2\right)-1=\left(-\dfrac{8}{5}{5}\right)-3\left(-\dfrac{8}{5}{5}+1\right)\)

(Notă: chiar funcționează – dar trebuie să fiți foarte atenți la paranteze!)

Infinit de multe soluții și nicio soluție

Există momente în care urmați toți acești pași și apare o soluție foarte ciudată. De exemplu, la rezolvarea ecuației \(x+2=x+2\) folosind pașii de mai sus, se ajunge la \(0=0\). Acest lucru este cu siguranță adevărat, dar la ce bun?

Dacă obțineți o astfel de afirmație, înseamnă că ecuația are infinit de multe soluții. Orice \(x\) la care v-ați putea gândi ar satisface ecuația \(x+2=x+2\). Răspunsul potrivit în acest caz este „infinit de multe soluții”.

O altă situație apare atunci când simplificați o ecuație până la un enunț care nu este niciodată adevărat, cum ar fi \(3=4\) sau \(0=1\). Acest lucru se întâmplă cu ecuația \(x+5=x-7\) care va duce la \(5= -7\), lucru care cu siguranță nu este niciodată adevărat. Aceasta înseamnă că niciun \(x\) nu ar satisface această ecuație. Cu alte cuvinte, „nicio soluție”. Pe scurt:

• Dacă se obține un enunț care este întotdeauna adevărat, cum ar fi \(5 = 5\) sau \(0 = 0\), atunci există infinit de multe soluții.
• Dacă se obține un enunț care este întotdeauna fals, cum ar fi \(10 = 11\) sau \(1 = 5\), atunci nu există soluții.

Rezumat

Soluția ecuațiilor liniare constă în izolarea variabilei. În funcție de ecuație, acest lucru poate necesita doar un singur pas sau mai mulți pași. Verificați întotdeauna dacă trebuie să simplificați mai întâi una sau ambele părți ale ecuației și verificați-vă întotdeauna răspunsul.

Abonează-te la buletinul nostru informativ!

Întotdeauna postăm noi lecții gratuite și adăugăm mai multe ghiduri de studiu, ghiduri pentru calculatoare și pachete de probleme.

Înscrieți-vă pentru a primi e-mailuri ocazionale (o dată la două sau trei săptămâni) care să vă anunțe despre noutăți!

.