Funcția Gompertz

Curba GompertzEdit

Biologia populațiilor este preocupată în special de funcția Gompertz. Această funcție este deosebit de utilă pentru a descrie creșterea rapidă a unei anumite populații de organisme, putând în același timp să țină cont de eventuala asimptotă orizontală, odată ce este determinată capacitatea de încărcare (numărul de celule/populație de platou).

Se modelează după cum urmează:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

unde:

• t este timpul
• N0 este cantitatea inițială de celule
• NI este numărul de celule/populație de platou
• b este rata inițială de creștere a tumorii

Această funcție care ia în considerare numărul de celule de platou o face utilă pentru a imita cu acuratețe dinamica populației din viața reală. De asemenea, funcția aderă la funcția sigmoidă, care este cea mai larg acceptată convenție de detaliere generală a creșterii unei populații. În plus, funcția utilizează rata de creștere inițială, care este frecvent întâlnită în populațiile de celule bacteriene și canceroase, care trec prin faza logaritmică și cresc rapid în număr. În ciuda popularității sale, funcția rata inițială de creștere a tumorii este dificil de predeterminat, având în vedere microcosmosul variabil prezent la un pacient sau factorii de mediu variabili în cazul biologiei populației. La pacienții cu cancer, factori precum vârsta, dieta, etnia, predispozițiile genetice, metabolismul, stilul de viață și originea metastazelor joacă un rol în determinarea ratei de creștere a tumorii. Este de așteptat ca și capacitatea de suport să se modifice în funcție de acești factori, astfel încât descrierea unor astfel de fenomene este dificilă.

Curba metabolicăEdit

Funcția metabolică este preocupată în special de contabilizarea ratei metabolismului în cadrul unui organism. Această funcție poate fi aplicată pentru a monitoriza celulele tumorale; rata metabolică este dinamică și este foarte flexibilă, ceea ce o face mai precisă în detalierea creșterii cancerului. Curba metabolică ia în considerare energia pe care organismul o furnizează în menținerea și crearea țesuturilor. Această energie poate fi considerată drept metabolism și urmează un model specific în diviziunea celulară. Conservarea energiei poate fi utilizată pentru a modela o astfel de creștere, indiferent de masele și timpii de dezvoltare diferiți. Toți taxonii împărtășesc un tipar de creștere similar și, ca urmare, acest model ia în considerare diviziunea celulară, care stă la baza dezvoltării unei tumori.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}

• B = energia pe care organismul o consumă în repaus
• NC = numărul de celule din organismul dat
• BC= rata metabolică a unei celule individuale
• NCBC= energia necesară pentru a menține existenta țesutul existent
• EC= energia necesară pentru a crea țesut nou dintr-o celulă individuală

Diferențierea între energia utilizată în repaus și rata metabolică de lucru permite modelului să determine mai precis rata de creștere. Energia în repaus este mai mică decât energia utilizată pentru a menține un țesut, iar împreună reprezintă energia necesară pentru a menține țesutul existent. Utilizarea acestor doi factori, alături de energia necesară pentru a crea țesut nou, cartografiază în mod cuprinzător rata de creștere și, în plus, conduce la o reprezentare precisă a fazei de decalaj.

Creșterea tumorilorEdit

În anii 1960, A.K. Laird a folosit pentru prima dată cu succes curba Gompertz pentru a ajusta datele de creștere a tumorilor. De fapt, tumorile sunt populații celulare care cresc într-un spațiu restrâns în care disponibilitatea nutrienților este limitată. Denotând dimensiunea tumorii ca fiind X(t) este util să se scrie curba Gompertz după cum urmează:

X ( t ) = K exp ( log ( log ( X ( 0 ) K ) K ) exp ( – α t ) ) {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)\right)}

unde:

• X(0) este dimensiunea tumorii la momentul de observație inițial;
• K este capacitatea de suport, adică.adică dimensiunea maximă care poate fi atinsă cu nutrienții disponibili. De fapt, aceasta este:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

independent de X(0)>0. De remarcat că, în absența terapiilor etc.. de obicei este X(0)<K, în timp ce, în prezența terapiilor, poate fi X(0)>K;

• α este o constantă legată de capacitatea proliferativă a celulelor.
• log() se referă la log natural.

Se poate demonstra că dinamica lui X(t) este guvernată de ecuația diferențială Gompertz:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}}\right)X(t)}

i.e. este de forma când este descompus:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , cu F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{cu}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}

F(X) este rata instantanee de proliferare a populației celulare, al cărei caracter descrescător se datorează competiției pentru nutrienți ca urmare a creșterii populației celulare, în mod similar cu rata de creștere logistică. Cu toate acestea, există o diferență fundamentală: în cazul logistic, rata de proliferare pentru o populație celulară mică este finită:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }

în timp ce în cazul Gompertz rata de proliferare este nemărginită:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }

După cum au observat Steel și Wheldon, rata de proliferare a populației celulare este în cele din urmă limitată de timpul de diviziune celulară. Astfel, aceasta ar putea fi o dovadă că ecuația Gompertz nu este bună pentru a modela creșterea tumorilor mici. Mai mult decât atât, mai recent s-a observat că, incluzând interacțiunea cu sistemul imunitar, Gompertz și alte legi caracterizate de F(0) nemărginită ar exclude posibilitatea supravegherii imunitare.

Studiul teoretic al lui Fornalski et al. a arătat bazele biofizice ale curbei Gompertz pentru creșterea cancerului, cu excepția fazei foarte timpurii, unde funcția parabolică este mai potrivită. Ei au constatat, de asemenea, că curba Gompertz descrie cel mai tipic caz din marea familie a funcțiilor dinamicii cancerului.

Creșterea Gompertz și creșterea logisticăEdit

Ecuația diferențială Gompertz

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}}\right)X(t)}

este cazul limită al ecuației diferențiale logistice generalizate

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}

(unde ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

este un număr real pozitiv) deoarece

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

În plus, există un punct de inflexiune în graficul funcției logistice generalizate atunci când

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}

și una în graficul funcției Gompertz când

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}

.

Modelarea traiectoriei infecției COVID-19Edit

Funcția logistică generalizată (curba de creștere Richards) în modelarea epidemiologică

O funcție logistică generalizată, numită și curba de creștere Richards, este utilizată pe scară largă în modelarea traiectoriilor infecției COVID-19. Traiectoria de infecție este o serie de date zilnice în timp pentru numărul cumulativ de cazuri infectate pentru un subiect, cum ar fi țara, orașul, statul etc. Există variante de re-parametrizare în literatura de specialitate: una dintre formele utilizate frecvent este

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}}{^{1/\xi }}}}

unde θ 1 , θ 2 , θ 3 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}

sunt numere reale, iar ξ {\displaystyle \xi }

este un număr real pozitiv. Flexibilitatea curbei f {\displaystyle f}

se datorează parametrului ξ {\displaystyle \xi }

: (i) dacă ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

atunci curba se reduce la funcția logistică, și (ii) dacă ξ {\displaystyle \xi }

converge la zero, atunci curba converge la funcția Gompertz. În modelarea epidemiologică, θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, și θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}

reprezintă dimensiunea finală a epidemiei, rata de infecție și, respectiv, faza de întârziere. A se vedea panoul din dreapta pentru o traiectorie de infecție exemplificativă atunci când ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

sunt desemnate prin ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0.2,40)}

.

Traiectoriile de infecție extrapolate din 40 de țări grav afectate de COVID-19 și media mare (a populației) până la 14 mai

Unul dintre avantajele utilizării funcției de creștere, cum ar fi funcția logistică generalizată în modelarea epidemiologică, este extinderea relativ ușoară a acesteia la cadrul modelului pe mai multe niveluri prin utilizarea funcției de creștere pentru a descrie traiectoriile de infecție de la mai mulți subiecți (țări, orașe, state, etc.). A se vedea figura de mai sus. Un astfel de cadru de modelare poate fi, de asemenea, numit pe scară largă model neliniar cu efecte mixte sau model ierarhic neliniar.

Legea Gomp-ex de creștereEdit

Pe baza considerațiilor de mai sus, Wheldon a propus un model matematic de creștere a tumorilor, numit modelul Gomp-Ex, care modifică ușor legea Gompertz. În modelul Gomp-Ex se presupune că inițial nu există competiție pentru resurse, astfel încât populația celulară se extinde după legea exponențială. Cu toate acestea, există un prag critic de mărime X C {\displaystyle X_{C}}.

astfel încât pentru X > X C {\displaystyle X>X_{C}}

. Ipoteza că nu există concurență pentru resurse este valabilă în majoritatea scenariilor. Cu toate acestea, ea poate fi afectată de factori limitativi, ceea ce necesită crearea unor variabile de subfactori.

creșterea urmează legea Gompertz:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)\right)}

astfel încât:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}

Aici există câteva estimări numerice pentru X C {\displaystyle X_{C}}.