Este 1+2+3… Really Equal -1/12?

Un videoclip Numberphile postat la începutul acestei luni susține că suma tuturor numerelor întregi pozitive este -1/12.

De obicei sunt un fan al echipei Numberphile, care face o treabă excelentă în a face matematica interesantă și accesibilă, dar acest videoclip m-a dezamăgit. Există un mod semnificativ de a asocia numărul -1/12 cu seria 1+2+3+4…, dar, în opinia mea, este înșelător să îl numim suma seriei. În plus, modul în care este prezentat contribuie la o concepție greșită pe care o întâlnesc adesea în calitate de educator în domeniul matematicii, și anume că matematicienii schimbă regulile în mod arbitrar, fără niciun motiv aparent, iar elevii nu au nicio speranță de a ști ce este și ce nu este permis într-o anumită situație. Într-o postare despre acest videoclip, fizicianul Dr. Skyskull spune: „o parte deprimant de mare a populației presupune în mod automat că matematica este o vrăjitorie neintuitivă, bizară, pe care doar cei super-inteligenți o pot înțelege. Afișarea unui astfel de rezultat nebunesc fără rezerve nu face decât să întărească această părere și, în opinia mea, face un deserviciu matematicii.”

Adierea este o operație binară. Se introduc două numere și se obține un număr. Dar o poți extinde la mai multe numere. Dacă aveți, de exemplu, trei numere pe care doriți să le adunați, puteți aduna mai întâi oricare două dintre ele și apoi îl adăugați pe cel de-al treilea la suma rezultată. Putem continua să facem acest lucru pentru orice număr finit de adunări (iar legile aritmeticii spun că vom obține același răspuns indiferent de ordinea în care le adunăm), dar atunci când încercăm să adunăm un număr infinit de termeni, trebuie să facem o alegere cu privire la ceea ce înseamnă adunarea. Cel mai comun mod de a trata adunarea infinită este folosirea conceptului de limită.

În linii mari, spunem că suma unei serii infinite este un număr L dacă, pe măsură ce adăugăm din ce în ce mai mulți termeni, ne apropiem din ce în ce mai mult de numărul L. Dacă L este finit, numim seria convergentă. Un exemplu de serie convergentă este 1/2+1/4+1/8+1/16…. Această serie converge către numărul 1. Este destul de ușor de înțeles de ce: după primul termen, suntem la jumătatea drumului către 1. După al doilea termen, suntem la jumătate din distanța rămasă până la 1, și așa mai departe.

Paradoxul lui Zeno spune că, de fapt, nu vom ajunge niciodată la 1, dar, din punct de vedere al limitei, ne putem apropia cât de mult dorim. Aceasta este definiția „sumei” la care se referă de obicei matematicienii atunci când vorbesc despre serii infinite și, în principiu, este în acord cu definiția noastră intuitivă a cuvintelor „sumă” și „egal.”

Dar nu orice serie este convergentă în acest sens (noi numim serii neconvergente serii divergente). Unele, cum ar fi 1-1+1-1-1…, ar putea să țopăie între diferite valori pe măsură ce continuăm să adăugăm mai mulți termeni, iar unele, cum ar fi 1+2+3+4… ar putea deveni arbitrar de mari. Prin urmare, este destul de clar că, folosind definiția limită a convergenței pentru o serie, suma 1+2+3… nu converge. Dacă aș spune: „Cred că limita acestei serii este un anumit număr finit L”, aș putea cu ușurință să-mi dau seama câți termeni să adaug pentru a ajunge cât mai departe de numărul L pe care îl doresc.

Există modalități semnificative de a asocia numărul -1/12 la seria 1+2+3…, dar prefer să nu numesc -1/12 „suma” numerelor întregi pozitive. Un mod de a aborda problema este cu ajutorul ideii de continuare analitică din analiza complexă.

Să spunem că avem o funcție f(z) care este definită undeva în planul complex. Vom numi domeniul în care este definită funcția U. S-ar putea să găsiți o modalitate de a construi o altă funcție F(z) care este definită într-o regiune mai mare, astfel încât f(z)=F(z) ori de câte ori z este în U. Astfel, noua funcție F(z) este în acord cu funcția originală f(z) oriunde este definită f(z) și este definită în unele puncte din afara domeniului lui f(z). Funcția F(z) se numește continuarea analitică a lui f(z). („The” este articolul potrivit de utilizat deoarece continuarea analitică a unei funcții este unică.)

Continuarea analitică este utilă deoarece funcțiile complexe sunt adesea definite ca serii infinite care implică variabila z. Cu toate acestea, cele mai multe serii infinite converg numai pentru anumite valori ale lui z și ar fi bine dacă am putea face ca funcțiile să fie definite în mai multe locuri. Continuarea analitică a unei funcții poate defini valori pentru o funcție în afara zonei în care converge definiția seriei sale infinite. Putem spune că 1+2+3….=-1/12 prin retroadaptarea continuității analitice a unei funcții la definiția sa inițială de serie infinită, o mișcare care ar trebui să vină cu un clinchet de ochi în stilul lui Lucille Bluth.

Funcția în cauză este funcția zeta Riemann, care este faimoasă pentru legăturile sale profunde cu întrebări despre distribuția numerelor prime. Atunci când partea reală a lui s este mai mare decât 1, funcția Riemann zeta ζ(s) este definită ca fiind Σ∞n=1n-s. (De obicei folosim litera z pentru variabila unei funcții complexe. În acest caz, folosim s în semn de respect față de Riemann, care a definit funcția zeta într-o lucrare din 1859). Această serie infinită nu converge când s=-1, dar puteți vedea că atunci când punem s=-1, obținem 1+2+3…. Funcția zeta Riemann este continuarea analitică a acestei funcții la întregul plan complex minus punctul s=1. Când s=-1, ζ(s)=-1/12. Prin lipirea unui semn egal între ζ(-1) și seria infinită formală care definește funcția în alte părți ale planului complex, obținem afirmația că 1+2+3…=-1/12.

Continuarea analitică nu este singura modalitate de a asocia numărul -1/12 cu seria 1+2+3…. Pentru o explicație foarte bună, în profunzime, a unui mod care nu necesită o analiză complexă – completată cu exerciții pentru acasă – consultați postarea lui Terry Tao pe această temă.

Video-ul lui Numberphile m-a deranjat pentru că au avut ocazia să vorbească despre ce înseamnă să atribui o valoare unei serii infinite și să explice diferite moduri de a face acest lucru. Dacă știți deja câte ceva despre acest subiect, puteți viziona videoclipul și un videoclip conex mai lung despre acest subiect și să prindeți frânturi din ceea ce se întâmplă cu adevărat. Dar factorul „wow” al videoclipului provine din faptul că nu are niciun sens ca o grămadă de numere pozitive să se adune la un număr negativ dacă publicul presupune că „suma” înseamnă ceea ce crede că înseamnă.

Dacă Numberphiles ar fi fost mai expliciți cu privire la modalitățile alternative de asociere a numerelor la serii, ar fi putut face mai mult decât să-i facă pe oameni să creadă că matematicienii schimbă mereu regulile. La sfârșitul videoclipului, producătorul Brady Haran îl întreabă pe fizicianul Tony Padilla dacă, dacă ai continua să aduni numere întregi la nesfârșit pe calculatorul tău și ai apăsa butonul „egal” la sfârșit, ai obține -1/12. Padilla răspunde obraznic: „Trebuie să ajungi la infinit, Brady!”. Dar răspunsul ar fi trebuit să fie „Nu!” Aici, cred că au ratat o oportunitate de a clarifica faptul că folosesc un mod alternativ de a atribui o valoare unei serii infinite care ar fi făcut ca videoclipul să fie mult mai puțin înșelător.

Alți oameni au scris lucruri bune despre matematica din acest videoclip. După o postare prea credulă pe blogul Slate despre aceasta, Phil Plait a scris o explicație mult mai echilibrată a diferitelor moduri de a atribui o valoare unei serii. Dacă dorești să lucrezi singur la detaliile „dovezii”, John Baez te poate ajuta. Blake Stacey și Dr. Skyskull scriu despre modul în care înlocuirea numărului -1/12 cu suma numerelor întregi pozitive poate fi utilă în fizică. Richard Elwes postează un „avertisment de sănătate și siguranță” privind seriile infinite care implică vechea mea favorită, seria armonică. Cred că proliferarea discuțiilor despre ce înseamnă această serie infinită este un lucru bun, chiar dacă mi-aș fi dorit ca mai multe dintre aceste discuții să se regăsească în materialul video, care are peste un milion de vizualizări pe YouTube până acum!

.