Analiza complexității unui model de joc de duopol Cournot-Bertrand cu informații limitate
On noiembrie 23, 2021 by adminAbstract
Se consideră un model de joc de duopol mixt Cournot-Bertrand cu informații limitate despre piață și adversar, în care piața are o cerere liniară și două firme au același cost marginal fix. Principiile de luare a deciziilor sunt raționale delimitate. O firmă alege producția, iar cealaltă alege prețul ca variabilă de decizie, cu ipoteza că există un anumit grad de diferențiere între produsele oferite de firme pentru a evita ca întreaga piață să fie ocupată de cea care aplică un preț mai mic. Se investighează existența unui punct de echilibru Nash și stabilitatea locală a jocului. Dinamica complexă, cum ar fi scenariile de bifurcație și traseul spre haos, este afișată cu ajutorul graficelor de bazin de parametri prin experiment numeric. Influențele parametrilor asupra performanțelor sistemului sunt discutate din punct de vedere economic.
1. Introducere
Un oligopol este o structură de piață aflată între monopol și concurență perfectă, în care piața este controlată în totalitate doar de un număr redus de firme care realizează aceleași producții sau producții omogene . Dacă există două firme, se numește duopol, în timp ce dacă există trei concurenți, este cunoscut sub numele de triopol.
Oligopolul lui Cournot și oligopolul lui Bertrand sunt cele mai notabile două modele din teoria oligopolului. În modelul Cournot, firmele își controlează nivelul de producție, care influențează prețul pieței, în timp ce în modelul Bertrand, firmele aleg prețul unei unități de produs pentru a influența cererea de pe piață.
O mare parte din literatura de specialitate se ocupă de concurența Cournot sau Bertrand pe piața oligopolistă , dar există doar un număr considerabil mai mic de lucrări dedicate concurenței Cournot-Bertrand, care se caracterizează prin faptul că piața poate fi subdivizată în două grupuri de firme, dintre care primul își ajustează în mod optim prețurile, iar celălalt își ajustează în mod optim producția pentru a-și asigura profitul maxim .
Modelul Cournot-Bertrand există în economia realistă. De exemplu, pe o piață de duopol, o firmă concurează într-o poziție dominantă și alege producția ca variabilă de decizie, în timp ce cealaltă este în dezavantaj și alege prețul ca variabilă de decizie pentru a obține o cotă de piață mai mare. După cum am știut până acum, Bylka și Komar și Singh și Vives sunt primii autori care au analizat duopolurile, în care o firmă concurează pe cantități și cealaltă pe prețuri. Häckner , Zanchettin , și Arya et al. au arătat că în unele cazuri concurența Cournot-Bertrand poate fi optimă. Recent, C. H. Tremblay și V. J. Tremblay au analizat rolul diferențierii produselor pentru proprietățile statice ale echilibrului Nash al unui duopol Cournot-Bertrand. Naimzada și Tramontana au luat în considerare un model de duopol Cournot-Bertrand, care este caracterizat de ecuații cu diferențe liniare. Ei au analizat, de asemenea, rolul dinamicii celui mai bun răspuns și al mecanismului de ajustare adaptivă pentru stabilitatea echilibrului.
În această lucrare, stabilim un model de duopol Cournot-Bertrand, presupunând că două firme aleg producția și, respectiv, prețul ca variabilă de decizie și că toate au așteptări raționale delimitate. Sistemul de joc poate fi descris prin ecuații cu diferențe neliniare, ceea ce modifică și extinde rezultatele lui Naimzada și Tramontana , care au considerat firmele cu așteptări statice și descrise prin ecuații cu diferențe liniare. Cercetarea va conduce la o bună îndrumare a factorilor de decizie din întreprinderi pentru a lua cele mai bune decizii.
Articolul este organizat după cum urmează modelul de joc Cournot-Bertrand cu așteptări raționale delimitate este descris în secțiunea 2. În secțiunea 3, se studiază existența și stabilitatea punctelor de echilibru. Comportamentele dinamice în condițiile unor modificări ale parametrilor de control ai jocului sunt investigate prin simulări numerice în Secțiunea 4. În final, în secțiunea 5 se formulează o concluzie.
2. Modelul jocului Cournot-Bertrand cu așteptări raționale delimitate
Considerăm o piață deservită de două firme și firma produce bunul , . Există un anumit grad de diferențiere între produse și . Firma 1 concurează la nivelul producției ca într-un duopol Cournot, în timp ce firma 2 își fixează prețul ca în cazul Bertrand. Să presupunem că firmele își fac alegerile strategice simultan și că fiecare firmă cunoaște producția și prețul celeilalte firme.
Funcțiile inverse ale cererii de produse din varietatea 1 și 2 provin din maximizarea de către consumatorul reprezentativ a următoarei funcții de utilitate: supusă constrângerii bugetare și sunt date de următoarele ecuații (demonstrația detaliată vezi ): unde parametrul denotă indicele de diferențiere sau de substituție a produselor. Gradul de diferențiere a produselor va crește cu . Produsele și sunt omogene atunci când , și fiecare firmă este monopolistă atunci când , în timp ce o valoare negativă implică faptul că produsele sunt complementare. Să presupunem că cele două firme au același cost marginal , iar funcția de cost are forma liniară: Putem scrie sistemul de cerere în cele două variabile strategice, și : Funcțiile de profit ale firmelor 1 și 2 sunt de forma:
Presupunem că cele două firme nu au o cunoaștere completă a pieței și a celuilalt jucător și că ele construiesc deciziile pe baza profitului marginal așteptat. Dacă profitul marginal este pozitiv (negativ), ele își măresc (scad) producția sau prețul în perioada următoare; adică, sunt jucători raționali limitați . Atunci sistemul dinamic mixt Cournot-Bertrand poate fi descris prin ecuațiile cu diferențe neliniare: unde și reprezintă viteza de ajustare a celor doi jucători în fiecare relație, respectiv.
3. Puncte de echilibru și stabilitate locală
Sistemul (6) are patru puncte de echilibru: unde , . , , , și sunt punctele de echilibru la limită, iar și este singurul punct de echilibru Nash cu condiția ca și , care necesită . În caz contrar, va exista o firmă ieșită de pe piață.
Pentru a investiga stabilitatea locală a punctelor de echilibru, fie matricea Jacobian a sistemului (6) corespunzătoare variabilelor de stare , atunci unde , . Stabilitatea punctelor de echilibru va fi determinată de natura valorilor proprii de echilibru ale matricei Jacobian evaluate în punctele de echilibru corespunzătoare.
Propoziția 1. Echilibrele limită , , și ale sistemului (6) sunt puncte de echilibru instabile atunci când .
Probă. Pentru echilibrul , matricea Jacobian a sistemului (6) este egală cu Aceste valori proprii care corespund echilibrului sunt următoarele: Evident, , atunci punctul de echilibru este instabil.
De asemenea, la matricea Jacobian devine o matrice triunghiulară Aceste valori proprii care corespund echilibrului sunt următoarele:
: Când , în mod evident . Deci, punctul de echilibru este instabil. În mod similar putem demonstra că este de asemenea instabil.
Din punct de vedere economic ne interesează mai mult studiul proprietăților de stabilitate locală a punctului de echilibru Nash , ale cărui proprietăți au fost analizate în profunzime în .
Matricea Jacobiană evaluată în punctul de echilibru Nash este următoarea
Urma și determinantul lui se notează ca și , respectiv ,. În ceea ce privește punctul , , , și , acum este mai dificil de calculat în mod explicit valorile proprii, dar este încă posibil să se evalueze stabilitatea punctului de echilibru Nash prin utilizarea următoarelor condiții de stabilitate, cunoscute sub numele de condițiile lui Jury : Inegalitățile de mai sus definesc o regiune în care punctul de echilibru Nash este stabil local. De asemenea, putem afla mai multe despre regiunea de stabilitate prin simulări numerice. Pentru a studia dinamica complexă a sistemului (6), este convenabil să luăm valorile parametrilor după cum urmează: Figura 1 prezintă în planul parametrilor regiunile de stabilitate și instabilitate. Din figură, putem constata că o viteză prea mare de reglare va face ca punctul de echilibru Nash să-și piardă stabilitatea. De asemenea, constatăm că viteza de ajustare a prețului este mai sensibilă decât viteza de producție, iar când aproximativ , punctul de echilibru Nash își va pierde stabilitatea, în timp ce aproximativ punctul de echilibru Nash va face acest lucru.
Regiunea de stabilitate și instabilitate.
4. Efectele parametrilor asupra stabilității sistemului
Pratgramele bazinului parametrilor (numite și diagrame de bifurcație 2D) sunt un instrument mai puternic în analiza numerică a dinamicii neliniare decât diagramele de bifurcație 1D , care atribuie culori diferite într-un spațiu parametric 2D unor cicluri stabile de perioade diferite. În această secțiune, diagramele bazinului de parametri vor fi utilizate pentru a analiza efectele vitezei de ajustare a jucătorilor și ale indicelui de diferențiere a produselor asupra stabilității sistemului. Am stabilit și valorile inițiale sunt alese ca fiind .
4.1. Efectele vitezei de ajustare a jucătorilor asupra stabilității sistemului
Figura 2 prezintă bazinul parametrilor în funcție de parametrii când și atribuie culori diferite stărilor stabile stabile (albastru închis); cicluri stabile de perioade 2 (albastru deschis), 4 (violet) și 8 (verde) (primele patru cicluri dintr-o bifurcație de dublare a perioadelor care duce la haos) și perioadele 3 (roșu), 5 (portocaliu) și 7 (roz) (cicluri stabile de ordin scăzut de perioadă impară); haos (galben); divergență (alb) (ceea ce înseamnă că unul dintre jucători va ieși de pe piață în economie).
Bazinul parametrilor pentru .
Potem constata că atunci când parametrii trec prin granițele ca săgețile negre și , sistemul (6) își pierde stabilitatea prin bifurcație flip (numită bifurcație de dublare a perioadei în sistemul continuu), așa cum se arată în figurile 3 și 4. Dar atunci când parametrii trec granițele ca săgeata , comportamentul dinamic al sistemului este mai complicat, și mai întâi intră în haos prin bifurcație Neimark-Sacker (numită bifurcație Hopf în sistemul continuu) , a doua oară intră în perioada 2 și apoi evoluează în haos prin bifurcație flip separat, așa cum se arată în figura 5. Observăm, de asemenea, că în regiunea galbenă (haos) există o linie roșie și puncte portocalii (ciclu impar); adică, există un ciclu impar intermitent în haos, așa cum se arată în figura 3 până la figura 5. Este bine cunoscut faptul că, pentru hărțile continue 1D, un ciclu cu perioadă impară implică un comportament dinamic haotic (așa-numitul haos topologic), în conformitate cu celebrul rezultat „perioada 3 implică haos” al lui Li și Yorke .
Diagrama de bifurcație pentru și variază de la 1,5 la 3,5.
Diagrama de bifurcație pentru și variază de la 1,5 la 2,8.
Diagrama de bifurcație pentru și variază de la 1,8 la 2,8.
Din punct de vedere economic, viteza de ajustare a firmelor și ar trebui să fie într-un anumit interval; în caz contrar, sistemul va apărea fluctuația ciclului, iar apoi în haos, ceea ce înseamnă neregulat, sensibil la valorile inițiale, imprevizibil și rău pentru economie. De asemenea, constatăm că intervalul reglabil al este mai mare decât cel al , ceea ce înseamnă că ajustarea prețului este mai sensibilă decât cea a producției, iar războiul prețurilor este mai ușor să ducă piața în haos.
4.2. Efectele indicelui de diferențiere a produselor asupra stabilității sistemului
Pentru a găsi influențele indicelui de diferențiere a produselor asupra stabilității sistemului, figurile 6, 7, 8 și 9 prezintă bazinele parametrilor pentru , , , și separat.
Bazinul parametrilor pentru .
Bazinul parametrilor pentru .
Bazinul parametrilor pentru .
Bazinul parametrilor pentru .
Din comparație se poate observa că zona albastru închis devine mai mare, iar zona galbenă devine mai mică odată cu creșterea indicelui de diferențiere a produselor ; adică gradul de diferențiere a produselor este mai mic, iar intervalul reglabil al parametrilor și pentru a face ca sistemul să rămână stabil va deveni mai mare, ceea ce înseamnă mai multă concurență între produsele celor două firme.
5. Concluzii
În această lucrare, propunem un model de joc mixt Cournot-Bertrand, presupunând că firmele nu au informații complete despre piață și despre adversar și că iau decizii în funcție de propriul profit marginal. Se presupune că funcția de cerere și de cost este liniară, iar modelul poate fi descris prin ecuații diferențiale. Echilibrul limită este întotdeauna instabil, iar existența și stabilitatea locală a echilibrului Nash sunt analizate. În plus, analizăm efectele parametrilor (viteza de ajustare și indicele de diferențiere a produselor) asupra stabilității sistemului, iar diferitele bifurcații și căi spre haos sunt analizate cu ajutorul graficelor bazinului parametrilor. Modelele de joc Cournot-Bertrand în diferite medii de marketing trebuie să fie luate în considerare și va fi un subiect interesant pentru studii viitoare.
Recunoștințe
Autorii mulțumesc recenzenților pentru lectura atentă și pentru furnizarea unor sugestii pertinente. Cercetarea a fost sprijinită de Fundația Națională de Științe Naturale a Chinei (nr. 61273231).
.
Lasă un răspuns