4.3: Compresibilitate și expansivitate

Derivarea unei expresii pentru o derivată parțială (tip I): Regula reciprocă

Considerăm un sistem care este descris de trei variabile și pentru care se poate scrie o constrângere matematică asupra variabilelor

\

În aceste condiții, se poate specifica starea sistemului variind doar doi parametri în mod independent, deoarece al treilea parametru va avea o valoare fixă. Ca atare, se pot defini două funcții: \(z(x, y)\) și \(y(x,z)\).

Aceasta permite scrierea diferențialelor totale pentru \(dz\) și \(dy\) după cum urmează

\

și

\

Substituind expresia din Ecuația \ref{eq6} în Ecuația \ref{eq5}:

\ \\\ &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \partial \right)_x dz \label{eq7} \end{align}\]

Dacă sistemul suferă o modificare care urmează o cale în care \(x\) este menținut constant (\(dx = 0\)), această expresie se simplifică la

\

Și tot așa pentru modificările pentru care \(dz \neq 0\),

\

Această regulă reciprocă este foarte convenabilă în manipularea derivatelor parțiale. Dar ea poate fi, de asemenea, derivată într-o manieră simplă, deși mai puțin riguroasă. Începeți prin a scrie diferențiala totală pentru \(z(x,y)\) (Ecuația \ref{eq5}):

\

Acum, împărțiți ambele părți cu \(dz\) și constrângeți la constanta \(x\).

Notând că

\

\

și

\

Ecuația \ref{eq10} devine

\

sau

\

Această metodă „formală” de manipulare a derivatelor parțiale este convenabilă și utilă, deși nu este riguroasă din punct de vedere matematic. Cu toate acestea, ea funcționează pentru tipul de derivate parțiale întâlnite în termodinamică, deoarece variabilele sunt variabile de stare și diferențialele sunt exacte.

.