Ponto de equilíbrio

O ponto x ~ ∈ R n {\displaystyle {\displaystyle {\mathbf {x} em “mathbb”…

é um ponto de equilíbrio para a equação diferencial d x d t = f ( t , x ) {\i1}displaystyle {\i}frac {\i}mathbf {x} “mathbf”… (t,\mathbf {x} )}

se f ( t , x ~ ) = 0 {\i1}mathbf {f} (t,{\i1}- (t,{\i0}) =mathbf {x})=mathbf }

para todos os t {\i1}displaystyle t

.

Similiarmente, o ponto x ~ ∈ R n {\i1}displaystyle {\i}tilde {\i}mathbf {\i} em “mathbb”…

é um ponto de equilíbrio (ou ponto fixo) para a equação de diferença x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} Mathbf (k,\mathbf {x} _{k})}

se f ( k , x ~ ) = x ~ {\\i1}displaystyle \i}mathbf {\i} k,{\i1}(k,{\i1}mathbf {x}})={\i1}mathbf {x} }}}

>

para k = 0 , 1 , 2 , … {\i1}displaystyle k=0,1,2,{\i}ldots }

.

Equilíbrio pode ser classificado observando os sinais dos valores próprios da linearização das equações sobre os equilíbrios. Ou seja, avaliando a matriz Jacobiana em cada um dos pontos de equilíbrio do sistema, e depois encontrando os autovalores resultantes, os equilíbrios podem ser categorizados. Então o comportamento do sistema na vizinhança de cada ponto de equilíbrio pode ser qualitativamente determinado (ou mesmo quantitativamente determinado, em alguns casos), encontrando o(s) autovetor(es) associado(s) a cada autovalor.

Um ponto de equilíbrio é hiperbólico se nenhum dos auto-valores tem parte real zero. Se todos os autovalores têm parte real negativa, o equilíbrio é uma equação estável. Se pelo menos um tem uma parte real positiva, o equilíbrio é um nó instável. Se pelo menos um valor próprio tem parte real negativa e pelo menos um tem parte real positiva, o equilíbrio é um ponto de sela.