Wektory ortonormalne

Co to jest wektor ortonormalny?

Mówi się, że wektor jest normalny, jeśli ma długość równą jeden. O dwóch wektorach mówi się, że są ortogonalne, jeśli są względem siebie pod kątem prostym (ich iloczyn punktowy wynosi zero). O zbiorze wektorów mówi się, że jest ortonormalny, jeśli wszystkie są normalne i każda para wektorów w zbiorze jest ortogonalna.

Wektory ortonormalne są zwykle używane jako podstawa przestrzeni wektorowej. Ustanowienie ortonormalnej podstawy dla danych znacznie ułatwia obliczenia; na przykład długość wektora jest po prostu pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadratów współrzędnych tego wektora względem pewnej ortonormalnej podstawy.

R Dekompozycja QR

Dekompozycja QR rzeczywistej macierzy kwadratowej A jest procesem znajdowania dwóch macierzy Q i R takich, że:

• A = QR

• Q jest macierzą ortogonalną

• R jest macierzą górnotrójkątną

(jeśli A jest złożoną macierzą kwadratową, lub jest macierzą prostokątną, to Q będzie macierzą jednostkową.)

Istnieje wiele metod obliczania rozkładu QR dla macierzy, w tym proces Grama-Schmidta, transformacje Householdera lub rotacje Givensa. Każda z metod ma wady i zalety, więc implementatorzy powinni dokładnie przestudiować każdy z tych algorytmów dla danego problemu.

Rekompozycja QR jest często używana w rozwiązaniu liniowego problemu najmniejszych kwadratów. Jest to również podstawa algorytmu znajdowania wektora własnego, trafnie nazwanego algorytmem QR (chociaż, jak na ironię, współczesna postać tego algorytmu nie polega na obliczaniu rozkładu QR!)

.