Punkt równowagi

Punkt x ~ ∈ R n {{displaystyle {{tilde {{mathbf {x}} }} w ^{n}}

jest punktem równowagi dla równania różniczkowego d x d t = f ( t , x ) {displaystyle {frac {dathbf {x} }{dt}}=mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

if f ( t , x ~ ) = 0 {displaystyle \mathbf {f} (t , x ~ )= 0 {{mathbf {0} }

for all t {{displaystyle t}

.

Podobnie, punkt x ~ ∈ R n {displaystyle {tilde {mathbf {x} }} w ∈ R} ^{n}}

jest punktem równowagi (lub punktem stałym) dla równania różniczkowego x k + 1 = f ( k , x k ) {textstyle \mathbf {x} _{k+1}= \mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {displaystyle \mathbf {f} (k , x ~ )={mathbf {x}} }}}

for k = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle k=0,1,2,\dots }

.

Equilibria można sklasyfikować patrząc na znaki wartości własnych linearyzacji równań wokół equilibrii. Oznacza to, że poprzez oszacowanie macierzy jakobianowej w każdym z punktów równowagi układu, a następnie znalezienie wynikających z tego wartości własnych, można sklasyfikować równowagi. Następnie zachowanie systemu w sąsiedztwie każdego punktu równowagi może być jakościowo określone, (lub nawet ilościowo określone, w niektórych przypadkach), poprzez znalezienie wektora(ów) własnego(ych) związanego z każdą wartością własną.

Punkt równowagi jest hiperboliczny, jeżeli żadna z wartości własnych nie ma zerowej części rzeczywistej. Jeżeli wszystkie wartości własne mają ujemną część rzeczywistą, to punkt równowagi jest równaniem stabilnym. Jeżeli co najmniej jedna z nich ma dodatnią część rzeczywistą, to równowaga jest węzłem niestabilnym. Jeśli co najmniej jedna wartość własna ma ujemną część rzeczywistą i co najmniej jedna ma dodatnią część rzeczywistą, to równowaga jest punktem siodłowym.

.