Pi: Najważniejsza liczba we wszechświecie?

By Edward B. Burger, Ph.D., Southwestern University

Jedną z najważniejszych liczb w naszym wszechświecie jest liczba Pi lub π. Poznaj odyseję ludzkości – próby podejmowane na przestrzeni wieków, które naprawdę przekraczają granice kultur – obliczenia, przybliżenia i zrozumienia tej enigmatycznej liczby.

Definicja

Pomimo, że początki liczby π nie są znane na pewno, wiemy, że Babilończycy przybliżyli π w podstawie 60 około 1800 roku p.n.e. Definicja π koncentruje się wokół okręgów. Jest to stosunek obwodu koła do jego średnicy – liczba niewiele większa od trzech.

Stała π pomaga nam zrozumieć nasz wszechświat z większą jasnością. Definicja π zainspirowała nowe pojęcie pomiaru kątów, nową jednostkę miary. Ta ważna miara kąta jest znana jako „miara radianowa” i dała początek wielu ważnym spostrzeżeniom w naszym fizycznym świecie. Co do samego π, Johann Lambert pokazał w 1761 roku, że π jest liczbą irracjonalną, a później, w 1882 roku, Ferdinand von Lindemann udowodnił, że π nie jest rozwiązaniem żadnego równania wielomianowego z liczbami całkowitymi. Jednak wiele pytań dotyczących π pozostaje bez odpowiedzi.

Learn More: Geometry-Polygons and Circles

Experimenting with Pi

Każda dyskusja na temat pochodzenia liczby pi musi rozpocząć się od eksperymentu z kołami, który wszyscy możemy wypróbować. Weźmy dowolny okrąg i weźmy długość obwodu – czyli długość dookoła – i zmierzmy ją w odniesieniu do średnicy, czyli długości w poprzek. Otrzymamy trzy średnice i jeszcze trochę, a jeśli się dobrze przyjrzymy, to jest to trochę więcej niż 1/10. Ten eksperyment pokazuje nam, że stosunek obwodu do średnicy będzie liczbą około, lub trochę większą niż 3,1. Bez względu na rozmiar koła, obwód jest nieco większy niż trzykrotność jego średnicy.

To jest transkrypcja z serii wideo Zero to Infinity. Obejrzyj ją teraz na The Great Courses.

Tej stałej, niezmiennej wartości nadano nazwę, a my nazywamy ją π. Jak to powiedzieć dokładniej? Liczba π jest zdefiniowana jako równa stosunkowi obwodu dowolnego koła do jego średnicy w poprzek. Stosunek ten jest stały. Bez względu na to, z jakim rozmiarem koła będziemy próbowali to zrobić, liczba ta będzie zawsze taka sama. Zaczyna się od 3.141592653589, i ciągle rośnie.

Symbol π pochodzi od greckiej litery π, ponieważ greckie słowo oznaczające „peryferie” zaczyna się od greckiej litery π. Obwód koła był prekursorem obwodu koła, który dziś nazywamy obwodem. Symbol π po raz pierwszy pojawia się w tekście Williama Jonesa z 1709 roku A New Introduction to Mathematics, a symbol ten został później spopularyzowany przez wielkiego osiemnastowiecznego szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera około 1737 roku.

Learn More: Number Theory-Prime Numbers and Divisors

From Babylon to the Bible

Przechodząc od nazwy do wartości, istnieją dowody na to, że Babilończycy przybliżali π w podstawie 60 około 1800 r. p.n.e. W rzeczywistości wierzyli, że π = 25/8, lub 3.125 – zdumiewające przybliżenie jak na tak wczesny okres w historii ludzkości. Starożytny egipski skryba Ahmes, który jest związany ze słynnym papirusem Rhind, zaproponował przybliżenie 256/81, co daje 3,16049. Ponownie, widzimy imponujące przybliżenie tej stałej. Istnieje nawet domyślna wartość π podana w Biblii. W 1 Księdze Królewskiej 7:23, mówi się, że okrągły basen ma 30 kubitów obwodu i 10 kubitów średnicy. Tak więc w Biblii jest napisane, że π równa się 3 (30/10).

Nic dziwnego, że wraz z rozwojem zrozumienia liczb przez ludzkość, rozwijała się również jej zdolność do lepszego zrozumienia i tym samym oszacowania samej liczby π. W roku 263, chiński matematyk Liu Hui uważał, że π = 3.141014.

How to Measure Angles with Pi

Oderwijmy się od tego historycznego polowania na cyfry π i rozważmy π jako ważną liczbę w naszym wszechświecie. Biorąc pod uwagę związek π z mierzeniem obwodów okręgów, uczeni zostali zainspirowani do użycia jej jako miary odległości kątowej. Rozważmy okrąg o promieniu 1. Promień jest miarą odległości od środka na zewnątrz do boku. Jest to połowa średnicy.

Tradycyjnymi jednostkami miar kątów są oczywiście stopnie. With degrees, one complete rotation around the circle has a measure of 360 degrees, which happens to approximately equal the number of days in one complete year and which might explain why we think of once around as 360.

Instead of the arbitrary measure of 360 to mean once around the circle, let’s figure out the actual length of traveling around this particular circle, a circle of radius 1, once around. Jaka jest długość i obwód tego okręgu? Jeśli mamy promień 1, to nasza średnica jest dwa razy większa, 2, a więc wiemy, że jednokrotne okrążenie będzie 2 razy π, ponieważ obwód jest π razy większy od średnicy.

Jednokrotne okrążenie będzie wynosiło 2π. Jeden pełny obrót dookoła, który jest kątem 360 stopni, byłby wymieciony z długością obwodu 2π w tym konkretnym okręgu. W połowie drogi dookoła byłoby 180 stopni, i wymachalibyśmy połowę obwodu, który w tym przypadku wynosiłby π. Dziewięćdziesiąt stopni wymachalibyśmy jedną czwartą okręgu, i dla tego konkretnego okręgu, miałoby to długość π/2, lub jedną połowę π.

Zaczynamy widzieć, że każdy kąt odpowiada odległości mierzonej w części lub na całej drodze dookoła tego konkretnego okręgu o promieniu 1. Innymi słowy, dla każdego kąta, możemy zmierzyć długość łuku tego okręgu omiatanego przez ten kąt.

Ta długość łuku zapewnia nowy sposób reprezentowania miary kąta, a my nazywamy tę miarę kątów „miarą radianową”. Na przykład, 360 stopni = 2π radianów, to są jednostki; 180 stopni równa się π radianów, a 90 stopni równałoby się π/2 radianów. Pamiętaj, wszystkie te miary są zawsze oparte na specjalnym okręgu, który ma promień 1.

Dowiedz się więcej o geometrii i taktyce transformacji

Radian Measures and the Power of Pi

Okazuje się, że ta miara radianowa jest znacznie bardziej przydatna w mierzeniu kątów dla matematyki i fizyki niż bardziej znana miara stopni. Fakt ten nie jest zaskakujący. Miara radianowa jest naturalnie połączona przez długość obwodu z kątem, a nie bardziej arbitralna miara stopniowa, która nie ma podstaw matematycznych. Reprezentuje przybliżenie przez pełny rok.

Termin radian po raz pierwszy pojawił się w druku w latach siedemdziesiątych XIX wieku, ale do tego czasu wielcy matematycy, w tym wielki matematyk Leonhard Euler, używali kątów mierzonych w radianach od ponad stu lat.

Liczba π pojawia się w niezliczonych ważnych wzorach i teoriach, w tym w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga i równaniu pola Einsteina z ogólnej teorii względności. Jest to ważna formuła i liczba na całym świecie.

Powszechne pytania o liczbę Pi

Ten artykuł został zaktualizowany 28 kwietnia 2020

.