Płaszczyzna Arganda i Reprezentacja Polarna

Płaszczyznaargandowa

Na wcześniejszych zajęciach czytałeś o linii liczbowej. Jest to wygodny sposób reprezentowania liczb rzeczywistych jako punktów na prostej. Podobnie, czytałeś o kartezjańskim układzie współrzędnych. Jest to zestaw trzech wzajemnie prostopadłych osi i wygodny sposób reprezentowania zbioru liczb (dwóch lub trzech) lub punktu w przestrzeni.

Zacznijmy od linii liczbowej. Wyobraźmy sobie, że jesteś jakimś bogiem matematyki i właśnie stworzyłeś liczby rzeczywiste. Tak się złożyło, że narysowałeś kolejną linię prostopadłą do osi rzeczywistej. Czym będzie ta linia? Na pewno nie jest prawdziwa. Stąd musi być urojoną lub złożoną linią.

W ten sposób mamy sposób na graficzne przedstawienie dowolnej liczby urojonej. Wszystko, co musimy zrobić, to znaleźć jej część rzeczywistą i część urojoną. Po drugie, przedstawiamy je na dwóch wzajemnie prostopadłych liniach liczbowych. Punkt przecięcia, jak pokazano powyżej, jest początkiem naszej płaszczyzny.

Płaszczyzna utworzona w ten sposób jest znana jako płaszczyzna Arganda i jest wygodnym sposobem graficznego przedstawienia dowolnej liczby urojonej. Niech z = x + iy. Wtedy Re(z) = x oraz Im(z) = y.

• Podstawy liczb zespolonych
• Operacje na liczbach zespolonych
• Modulus i koniugat liczby zespolonej
• Równania kwadratowe zespolone

Para uporządkowana (x,y) przedstawiona na płaszczyźnie Arganda będzie reprezentować punkt. Ten punkt odpowiada naszej liczbie zespolonej z. Rysujemy prostą skierowaną z O do punktu P(x,y), który reprezentuje z. Niech θ będzie kątem, jaki ta prosta tworzy z dodatnim kierunkiem „Osi rzeczywistej”. Zatem, (90 – θ) to kąt, jaki tworzy ona z „osią urojoną”. Jest to dość ważne, więc trzymaj to pod ręką!

Argument z

Jak już ustalono, każda liczba zespolona może być reprezentowana gdzieś na płaszczyźnie Arganda. Wynika to z faktu, że zgodnie z działaniem naszej algebry, liczby zespolone są domknięte. Wyobraźmy sobie, że reprezentujemy dwie liczby, z1 = 2 +3i oraz z2 = 2 – 3i. Widzimy, że |z1| = |z2|. Ups! Co zrobiliśmy? Jeśli wykreślimy dwa punkty (2, 3) i (2, -3), to okaże się, że są one symetryczne powyżej i poniżej osi rzeczywistych. Nazywamy je lustrzanymi odbiciami siebie nawzajem.

Jak je odróżnić? Wprowadzamy kolejną wielkość zwaną Argumentem z1 i z2. Jest ona zdefiniowana jako kąt „θ”, który linia łącząca punkt P (reprezentujący naszą liczbę zespoloną) i początek O, tworzy z dodatnim kierunkiem „osi rzeczywistych”. To daje każdej liczbie zespolonej unikalne poczucie kierunku lub orientacji na płaszczyźnie Arganda. Stąd możemy jednoznacznie reprezentować każdy punkt na Płaszczyźnie Arganda.

Modulus liczby zespolonej

W poprzednim rozdziale zdefiniowaliśmy moduł liczby urojonej z = a + ib jako |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Tutaj zobaczymy, że definicja ta doskonale pasuje do geometrycznej reprezentacji liczb zespolonych.

Na powyższym rysunku załóżmy, że grot strzałki to P (a, b), gdzie P reprezentuje liczbę z = a + ib. Wówczas długość OP można wyznaczyć za pomocą wzoru na odległość jako = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2} \Stąd możemy powiedzieć, że OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Moduł jest więc długością odcinka łączącego punkt, odpowiadający naszej liczbie zespolonej, z początkiem płaszczyzny Arganda. Jak widać, jest on zawsze dodatni, stąd nazywamy go modułem. Teraz wszystko jest na swoim miejscu, prawda?

Możesz pobrać Liczby Złożone Cheat Sheet klikając na przycisk pobierania poniżej

Polarna Reprezentacja

Mamy różne rodzaje układów współrzędnych. Jednym z nich jest biegunowy układ współrzędnych. Jest to po prostu zbiór wzajemnie prostopadłych linii. Początek nazywany jest biegunem. Mierzymy położenie dowolnego punktu mierząc długość prostej, która łączy go z początkiem oraz kąt, jaki ta prosta tworzy z określoną osią. Na przykład, jeśli znamy wartość φ i r możemy zlokalizować punkt P. Są to współrzędne biegunowe, r i φ.

Podobnie, jeśli znamy Argument liczby złożonej na płaszczyźnie Arganda i długość OP, możemy zlokalizować wspomnianą liczbę. Niech r = OP. Wiemy też, że OP = |z| = r ; gdzie z = x + iy

Współrzędne punktu P to (x, y). W trójkącie prostokątnym widzimy, że x = r cos(θ) oraz y = r sin(θ). Więc możemy napisać, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . To, moi drodzy przyjaciele jest polarną reprezentacją naszej liczby zespolonej z = x + iy z:

Arg(z) = θ i |z| = r

Teraz y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Therefore, θ = tan-1(y/x)

Używając tej relacji, możemy znaleźć argument liczby zespolonej.

Solved Examples For You

Pytanie 1: Jeśli z = -2(1+2i)/(3 + i), gdzie i= θ(-π < θ ≤ π), to argumentem θ(-π < θ ≤ π) liczby z jest:

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4} \)

Podpowiedź : D) Ponieważ z = -2(1+2i)/(3 + i)

Mnożąc i dzieląc przez (3 – i), otrzymujemy

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Porównując to do z = x + iy, mamy x = -1 i y = -1

Więc, θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4} \)

Dlaczego nie \( \frac{π}{4} \) ? Cóż, ponieważ zarówno x jak i y są ujemne. Oznacza to, że punkt P znajduje się teraz w trzecim kwadrancie. Zatem, θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Pytanie 2: Jaka jest podstawowa struktura argumentu?

Odpowiedź: Argument składa się z co najmniej jednej przesłanki, która nie prowadzi do wniosku. Ponadto, składa się z co najmniej jednej przesłanki i jednego fałszu, którego używamy do poparcia wniosku. Ponadto, argument składa się z przesłanek, które są używane do poparcia wniosku.

Pytanie 3: Co to jest lista argumentów?

Odpowiedź: Argument odnosi się do listy, którą wyrażamy w liście oddzielonej przecinkami ograniczonej nawiasami w wyrażeniu wywołania funkcji, lub jest to sekwencja tokenów przetwarzania w liście oddzielonej przecinkami zamkniętej interpolacjami w makroinwokacji funkcji.

Pytanie 4: Jaka jest różnica między argumentem głównym a argumentem?

Podpowiedź: Wartość, która leży pomiędzy -pi a pi nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej. Ponadto wartość ta jest taka, że -π < θ = π. Poza tym θ jest funkcją okresową o okresie 2π, więc argument ten możemy przedstawić jako (2nπ + θ), gdzie n jest liczbą całkowitą i jest to argument ogólny.

Pytanie 5: Co to jest argument liczby rzeczywistej?

Odpowiedź: Jest to kąt, jaki wektor i liczba zespolona tworzą z dodatnią osią rzeczywistą. Również, gdy liczba rzeczywista jest dodatnia wtedy odpowiedź jest twoją miarą kąta.

.