MathBootCamps

Równania liniowe w jednej zmiennej są równaniami, w których zmienna ma wykładnik 1, który zazwyczaj nie jest pokazany (jest zrozumiały). Przykładem może być coś takiego jak \(12x = x – 5\). Aby rozwiązać równania liniowe, jest jeden główny cel: wyizolować zmienną. W tej lekcji przyjrzymy się, jak to zrobić na kilku przykładach.

Spis treści

1. Przykłady rozwiązywania równań jednoetapowych
2. Przykłady rozwiązywania równań dwustep equations
3. Przykłady równań, w których musisz najpierw uprościć
4. Nieskończenie wiele lub brak rozwiązań
5. Podsumowanie

Przykłady rozwiązywania jednostopniowych równań liniowych

Po całej twojej ciężkiej pracy nad rozwiązaniem równania, wiesz, że chcesz uzyskać ostateczną odpowiedź, taką jak \(x=5\) lub \(y=1\). W obu tych przypadkach zmienna jest izolowana, lub sama w sobie.

Musimy więc dowiedzieć się, jak wyizolować zmienną. Jak to zrobimy zależy od samego równania! Jeśli zostało ono przez coś pomnożone, będziemy je dzielić. Jeśli coś zostało do niego dodane, to odejmujemy. Postępując w ten sposób, powoli będziemy uzyskiwać zmienną samą w sobie.

Użyjmy przykładu, aby zobaczyć jak to działa.

Przykład

Rozwiąż równanie: \(4x = 8)

Rozwiązanie

W tym przykładzie 4 jest mnożnikiem \(x). Dlatego, aby wyizolować x, musisz podzielić tę stronę przez 4. Kiedy to robisz, musisz pamiętać o jednej ważnej zasadzie: cokolwiek robisz z jedną stroną równania, musisz zrobić z drugą. Podzielimy więc obie strony przez 4.

(^begin{align}4x &= 8 ^dfrac{4x}{color{red}{4}}} &= dfrac{8}{color{red}{4}}}end{align}})

Upraszczając:

(x = \boxed{2})

To wszystko, jeden krok i gotowe. (Dlatego równania takie jak te są często nazywane równaniami „jednoetapowymi”)

Sprawdź

Zawsze, gdy rozwiązujesz równania liniowe, zawsze możesz sprawdzić swoją odpowiedź przez podstawienie jej z powrotem do równania. Jeśli otrzymasz prawdziwe stwierdzenie, wtedy odpowiedź jest poprawna. Nie jest to w 100% konieczne dla każdego problemu, ale jest to dobry nawyk, więc będziemy to robić dla naszych równań.

W tym przykładzie, nasze oryginalne równanie było \(4x = 8\). Aby to sprawdzić, sprawdź, czy następujące stwierdzenie jest prawdziwe:

(początek{align}4x &= 8} 4(2) &= 8} koniec{align})

To jest prawdziwe stwierdzenie, więc nasza odpowiedź jest poprawna.

Dla każdego równania, jakakolwiek operacja wykonana na jednej stronie musi być również wykonana na drugiej stronie

Spróbujmy jeszcze kilku przykładów, zanim przejdziemy do bardziej złożonych równań.

Przykład

Rozwiąż: \(3x=12)

Rozwiązanie

Ponieważ \(x) jest mnożone przez 3, plan jest taki, aby podzielić przez 3 po obu stronach:

\(\begin{align}3x &=12} \dfrac{3x}{\color{red}{3}}} &= dfrac{12}{color{red}{3}}} x&= χrac{4}}{end{align}})

Sprawdź

Aby sprawdzić naszą odpowiedź, wpuścimy x = 4 i podstawimy z powrotem do równania:

(^begin{align}3x &= 12 ^begin{align}3(4) &= 12 ^begin{align} 12 &= 12 ^end{align})

Tak jak poprzednio, ponieważ jest to stwierdzenie prawdziwe, wiemy, że nasza odpowiedź jest poprawna.

W następnym przykładzie, zamiast mnożenia zmiennej przez wartość, wartość jest odejmowana od zmiennej. Aby to „cofnąć”, dodamy tę wartość do obu stron.

Przykład

Rozwiąż: \(y-9=21)

Rozwiązanie

Tym razem od y odejmowane jest 9. Zatem cofniemy to dodając 9 do obu stron.

(^begin{align}y-9&=21} y-9 ^color{red}{+9}&=21}color{red}{+9}}y&=30}end{align}})

Następnie przyjrzymy się równaniom, które są powszechnie nazywane „dwuetapowymi”. W tych równaniach, będziemy musieli cofnąć dwie operacje w celu wyodrębnienia zmiennej.

Przykłady równań dwuetapowych

W każdym z powyższych przykładów, był jeden krok do wykonania, zanim mieliśmy naszą odpowiedź. W następnych przykładach zobaczysz, jak pracować z równaniami, które mają dwa kroki zamiast tego. Jeśli jest więcej niż jedna operacja, ważne jest, aby pamiętać o kolejności operacji, PEMDAS. Ponieważ cofasz operacje do x, będziesz pracował od „zewnątrz do wewnątrz”. Łatwiej to zrozumieć, gdy zobaczysz to na przykładzie.

Przykład

Rozwiąż: \(2x-7=13)

Rozwiązanie

Zauważ, że dwie operacje dzieją się z \(x): jest mnożona przez 2, a następnie ma odjęte 7. Będziemy musieli je cofnąć. Ale tylko x jest mnożone przez 2, więc pierwszym krokiem będzie dodanie 7 do obu stron. Następnie możemy podzielić obie strony przez 2.

Dodanie 7 do obu stron:

2x-7 &= 13 2x-7 \color{red}{+7} & =13 ™color{red}{+7} 2x&= 20 ™end{align}})

Teraz podziel obie strony przez 2:

(^begin{align} 2x &=20 ^dfrac{2x}{color{red}{2}}}&= ^dfrac{20}{color{red}{2}}} x&= ^boxed{10} ^end{align}})

Sprawdź

Tak jak w przypadku prostszych problemów, możesz sprawdzić swoją odpowiedź, wstawiając wartość x z powrotem do oryginalnego równania.

To jest prawda, więc mamy poprawną odpowiedź.

Przyjrzyjrzyjmy się jeszcze jednemu dwuetapowemu przykładowi, zanim znów przeskoczymy o jeden stopień trudności. Upewnij się, że rozumiesz każdy pokazany krok i przepracuj problem również.

Przykład

Rozwiąż: \(5w + 2 = 9)

Rozwiązanie

Tak jak powyżej, mamy do czynienia z dwoma operacjami: \(w) jest mnożona przez 5, a następnie dodawane są do niej 2. Cofniemy je, najpierw odejmując 2 od obu stron, a następnie dzieląc przez 5.

&= 9 \\ 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2} \ 5w &= 7 \ \dfrac{5w}{\color{red}{5}} &= 7 dfrac{7w}{color{red}{5}}})

Ułamka po prawej stronie nie da się uprościć, więc to jest nasza ostateczna odpowiedź.

Sprawdzian

Pozwólmy, aby w = dfrac{7}{5}}. Wtedy:

(\begin{align}5w + 2 &= 9 \ 5 \left(\dfrac{7}{5}}prawo) + 2 &= 9 \ 7 + 2 &= 9 \ 9 &= 9 \ end{align})

Więc po raz kolejny mamy poprawną odpowiedź!

Uproszczenie przed rozwiązaniem

W poniższych przykładach jest więcej zmiennych warunków i być może jakieś uproszczenia, które muszą mieć miejsce. W każdym przypadku, kroki będą najpierw uprościć obie strony, a następnie użyć tego, co robiliśmy, aby wyodrębnić zmienną. Najpierw przyjrzymy się dokładnie przykładowi, aby zobaczyć, jak to wszystko działa.

Aby zrozumieć tę sekcję, powinieneś czuć się komfortowo z łączeniem podobnych wyrażeń.

Przykład

Rozwiąż: \(3x+2=4x-1\)

Rozwiązanie

Ponieważ obie strony są uproszczone (nie ma nawiasów, które musimy rozgryźć i nie ma podobnych wyrażeń do połączenia), następnym krokiem jest uzyskanie wszystkich x po jednej stronie równania i wszystkich liczb po drugiej stronie. Obowiązuje ta sama zasada – cokolwiek zrobisz z jedną stroną równania, musisz zrobić również z drugą!

Możliwe jest albo przesunięcie ∗ (3x), albo ∗ (4x). Załóżmy, że przesunąłeś \(4x). Ponieważ jest ona dodatnia, zrobilibyśmy to odejmując ją od obu stron:

Teraz równanie wygląda jak te, które zostały opracowane wcześniej. Kolejnym krokiem jest odjęcie 2 od obu stron:

&= -1

Na koniec, ponieważ \(-x= -1x\) (to zawsze prawda), podziel obie strony przez \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=dfrac{-3}{color{red}{-1}}} x&=3}end{align}})

Sprawdź

Powinieneś poświęcić chwilę i sprawdzić, czy poniższe stwierdzenie jest prawdziwe:

(3(3)+ 2 = 4(3) – 1)

W następnym przykładzie będziemy musieli użyć własności dystrybucyjnej przed rozwiązaniem. Łatwo tu popełnić błąd, więc upewnij się, że rozdzielasz liczbę przed nawiasem na wszystkie wyrazy wewnątrz.

Przykład

Rozwiąż: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Rozwiązanie

Najpierw rozdziel 3 i -3, a następnie zbierz podobne wyrażenia.

Rozwiąż. 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)‖ 3x+6-1&=x-3x-3 ‖ 3x+5&=-2x-3 ‖

Teraz możemy dodać 2x do obu stron. (Pamiętaj, że otrzymasz tę samą odpowiedź, jeśli zamiast tego odejmiesz 3x od obu stron)

(^begin{align} 3x+5}color{red}{+2x} &=-2x-3color{red}{+2x} 5x+5& =-3end{align}})

W tym miejscu możemy rozwiązać, tak jak robiliśmy to z innymi równaniami dwuetapowymi.

(\begin{align}5x+5color{red}{-5} &=-3color{red}{-5}} 5x &=-8 ^dfrac{5x}{color{red}{5}}&= ^dfrac{-8}{color{red}{5}} x &= ^dfrac{-8}{5} \) &= dfrac{-8}{5}}}{align})

Sprawdź

To było trudne, więc pamiętaj, aby sprawdzić swoją odpowiedź i upewnić się, że nie popełniono błędu. Aby to zrobić, będziesz się upewniał, że poniższe stwierdzenie jest prawdziwe:

(3 lewa strona(-dfrac{8}{5}+2prawa)-1=lewa strona(-dfrac{8}{5}prawa)-3 lewa strona(-dfrac{8}{5}+1prawa)

(Uwaga: to działa – ale musisz naprawdę uważać na nawiasy!)

Nieskończenie wiele rozwiązań i brak rozwiązań

Czasami zdarza się, że wykonujesz wszystkie te kroki i pojawia się naprawdę dziwne rozwiązanie. Na przykład, podczas rozwiązywania równania \(x+2=x+2\) przy użyciu powyższych kroków, kończymy z \(0=0\). Jest to oczywiście prawda, ale co dobrego z tego wynika?

Jeśli otrzymasz takie stwierdzenie, oznacza to, że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Właściwą odpowiedzią w tym przypadku jest „nieskończenie wiele rozwiązań”.

Inna sytuacja pojawia się, gdy upraszczasz równanie do stwierdzenia, które nigdy nie jest prawdziwe, takie jak \(3=4\) lub \(0=1\). Tak dzieje się w przypadku równania \(x+5=x-7\), które prowadzi do \(5= -7\), czegoś, co z pewnością nigdy nie jest prawdziwe. Oznacza to, że żadne \u200 \u200 \u200 \u200 nie spełni tego równania. Innymi słowy „nie ma rozwiązania”. Podsumowując:

• Jeśli otrzymamy stwierdzenie, które jest zawsze prawdziwe, jak \(5 = 5\) lub \(0 = 0\), to istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.
• Jeśli otrzymamy stwierdzenie, które jest zawsze fałszywe, jak \(10 = 11\) lub \(1 = 5\), to nie ma rozwiązań.

Podsumowanie

Rozwiązywanie równań liniowych polega na wyodrębnieniu zmiennej. W zależności od równania, może to zająć tak mało jak jeden krok lub wiele więcej kroków. Zawsze sprawdzaj, czy musisz najpierw uprościć jedną lub obie strony równania, i zawsze sprawdzaj swoją odpowiedź.

Zapisz się na nasz Newsletter!

Ciągle publikujemy nowe darmowe lekcje i dodajemy więcej przewodników po nauce, przewodników po kalkulatorach i pakietów zadań.

Zapisz się, aby otrzymywać okazjonalne wiadomości e-mail (raz na kilka lub trzy tygodnie) informujące o nowościach!

.