Funkcja Gompertza

Krzywa GompertzaEdit

Biologia populacji zajmuje się w szczególności funkcją Gompertza. Funkcja ta jest szczególnie przydatna w opisie szybkiego wzrostu pewnej populacji organizmów, a jednocześnie jest w stanie uwzględnić ostateczną asymptotę poziomą, po określeniu pojemności nośnej (plateau liczby komórek/populacji).

Modeluje się ją w następujący sposób:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

gdzie:

• t jest czasem
• N0 jest początkową ilością komórek
• NI jest plateau liczby komórek/populacji
• b jest początkowym tempem wzrostu guza

Ta funkcja uwzględniająca plateau liczby komórek czyni ją użyteczną w dokładnym naśladowaniu dynamiki rzeczywistej populacji. Funkcja jest również zgodna z funkcją sigmoidalną, która jest najbardziej powszechnie akceptowaną konwencją ogólnego opisu wzrostu populacji. Ponadto, funkcja wykorzystuje początkowe tempo wzrostu, co jest powszechnie spotykane w populacjach komórek bakteryjnych i nowotworowych, które przechodzą fazę logarytmiczną i szybko rosną w liczebności. Pomimo swojej popularności, funkcja początkowego tempa wzrostu guza jest trudna do określenia, biorąc pod uwagę różne mikrokosmosy występujące u pacjenta lub różne czynniki środowiskowe w przypadku biologii populacyjnej. U pacjentów z nowotworami czynniki takie jak wiek, dieta, pochodzenie etniczne, predyspozycje genetyczne, metabolizm, styl życia i pochodzenie przerzutów odgrywają rolę w określaniu tempa wzrostu guza. Oczekuje się, że pojemność nośna również będzie się zmieniać w oparciu o te czynniki, dlatego opisywanie takich zjawisk jest trudne.

Krzywa metabolicznaEdit

Funkcja metaboliczna zajmuje się w szczególności określaniem tempa metabolizmu w organizmie. Funkcja ta może być stosowana do monitorowania komórek nowotworowych; tempo metabolizmu jest dynamiczne i jest bardzo elastyczne, dzięki czemu jest bardziej precyzyjne w szczegółowym określaniu wzrostu nowotworu. Krzywa metaboliczna bierze pod uwagę energię, jaką dostarcza organizm w utrzymaniu i tworzeniu tkanek. Ta energia może być uważana za metabolizm i podąża za określonym wzorcem w podziale komórkowym. Zachowanie energii może być wykorzystane do modelowania takiego wzrostu, niezależnie od różnej masy i czasu rozwoju. Wszystkie taksony mają podobny wzorzec wzrostu i model ten, w rezultacie, uwzględnia podziały komórkowe, podstawę rozwoju guza.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {displaystyle B=suma _{C}(N_{C}B_{C})+left(E_{C}{}operatorname {d} !N_{C} \u00}over \u00} \u00} \u00} t} right)}

• B = energia zużywana przez organizm w spoczynku
• NC = liczba komórek w danym organizmie
• BC= tempo metabolizmu pojedynczej komórki
• NCBC= energia wymagana do utrzymania istniejącej tkanki
• EC= energia potrzebna do utworzenia nowej tkanki z pojedynczej komórki

Różnicowanie pomiędzy energią zużywaną w spoczynku a pracą w tempie metabolicznym pozwala na dokładniejsze określenie w modelu tempa wzrostu. Energia w spoczynku jest niższa od energii zużywanej do utrzymania tkanki, a razem stanowią energię potrzebną do utrzymania istniejącej tkanki. Wykorzystanie tych dwóch czynników, obok energii wymaganej do stworzenia nowej tkanki, kompleksowo odwzorowuje tempo wzrostu, a ponadto prowadzi do dokładnej reprezentacji fazy opóźnienia.

Wzrost guzówEdit

W latach 60-tych A.K. Laird po raz pierwszy z powodzeniem wykorzystał krzywą Gompertza do dopasowania danych dotyczących wzrostu guzów. W rzeczywistości, guzy są populacjami komórek rosnącymi w zamkniętej przestrzeni, gdzie dostępność składników odżywczych jest ograniczona. Oznaczając rozmiar guza jako X(t) użyteczne jest zapisanie krzywej Gompertza w następujący sposób:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) {}

gdzie:

• X(0) jest rozmiarem guza w początkowym czasie obserwacji;
• K jest nośnością, tj.tj. maksymalny rozmiar, który może być osiągnięty przy dostępnych składnikach odżywczych. W rzeczywistości jest to:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {

  

niezależnie od X(0)>0. Zauważmy, że przy braku terapii itp. zwykle jest to X(0)<K, podczas gdy w obecności terapii może to być X(0)>K;

• α jest stałą związaną ze zdolnością proliferacyjną komórek.
• log() odnosi się do logu naturalnego.

Można pokazać, że dynamiką X(t) rządzi równanie różniczkowe Gompertza:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) X ( t ) { {displaystyle X^{prime }(t)=alpha ̇log ̇left({frac {K}{X(t)}}right)X(t)}

i.e. ma postać po rozbiciu:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , przy czym F ′ ( X ) ≤ 0 , { {displaystyle X^{prime }(t)=Fleft(X(t)\prawo)X(t),\quad {{mbox{with}}quad F^{prime }(X)\leq 0,}

F(X) jest chwilową szybkością proliferacji populacji komórek, którego malejący charakter wynika z konkurencji o składniki odżywcze spowodowanej wzrostem populacji komórek, podobnie jak w przypadku logistycznego tempa wzrostu. Istnieje jednak zasadnicza różnica: w przypadku logistycznym tempo proliferacji dla małej populacji komórkowej jest skończone:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν )

gdzie w przypadku Gompertza tempo proliferacji jest nieograniczone:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ { {displaystyle \lim _{X}{X}rightarrow 0^{+}F(X)= \lim _{X}{X}rightarrow 0^{+} \alpha \log \left({\frac {K}{X}}}right)=+infty }

Jak zauważyli Steel i Wheldon, tempo proliferacji populacji komórkowej jest ostatecznie ograniczone przez czas podziału komórki. Może to więc świadczyć o tym, że równanie Gompertza nie jest dobre do modelowania wzrostu małych guzów. Co więcej, ostatnio zauważono, że uwzględniając interakcję z systemem immunologicznym, równanie Gompertza i inne prawa charakteryzujące się niezwiązanym F(0) wykluczałyby możliwość nadzoru immunologicznego.

Badania teoretyczne Fornalskiego i wsp. wykazały biofizyczne podstawy krzywej Gompertza dla wzrostu nowotworów, z wyjątkiem bardzo wczesnej fazy, gdzie funkcja paraboliczna jest bardziej odpowiednia. Stwierdzili również, że krzywa Gompertza opisuje najbardziej typowy przypadek wśród szerokiej rodziny funkcji dynamiki nowotworów.

Rozrost Gompertza i wzrost logistycznyEdit

Równanie różniczkowe Gompertza

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) X ( t ) { {displaystyle X^{prime }(t)=alpha ̇log ̇left({frac {K}{X(t)}}right)X(t)}

jest przypadkiem granicznym uogólnionego logistycznego równania różniczkowego

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν )

(gdzie ν > 0 {{frac {1}{nu >0}

jest dodatnią liczbą rzeczywistą), ponieważ

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {displaystyle \lim _{ \nu \rightarrow + \infty } \nu \left(1-x^{1/ \nu \right)= – log \left(x \right)}

.

W dodatku, istnieje punkt przegięcia na wykresie uogólnionej funkcji logistycznej, gdy

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K { {displaystyle X(t)=left(^frac {{{nu }} ^prawo)^{{{nu }K}

i jeden na wykresie funkcji Gompertza, gdy

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 )

.

Modelowanie trajektorii infekcji COVID-19Edit

Uogólniona funkcja logistyczna (krzywa wzrostu Richardsa) w modelowaniu epidemiologicznym

Uogólniona funkcja logistyczna, zwana również krzywą wzrostu Richardsa, jest szeroko stosowana w modelowaniu trajektorii infekcji COVID-19. Trajektoria zakażenia jest dziennym szeregiem czasowym danych dotyczących skumulowanej liczby zakażonych przypadków dla danego podmiotu, takiego jak kraj, miasto, stan itp. W literaturze istnieją różne warianty re-parametryzacji: jedną z często używanych form jest

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {displaystyle f(t;θta _{1},θta _{2},θta _{3},ξ )={frac { θta _{1}}{^{1/ ξ }}}}

gdzie θ 1 , θ 2 , θ 3 {frac {theta _{1},θ _{2},θ _{3}}}.

są liczbami rzeczywistymi, a ξ {displaystyle \xi }

jest dodatnią liczbą rzeczywistą. Elastyczność krzywej f {{displaystyle f}

wynika z parametru ξ {{displaystyle \xi }

: (i) jeśli ξ = 1 {displaystyle ξ =1}

to krzywa sprowadza się do funkcji logistycznej, oraz (ii) jeśli ξ { {displaystyle ξi }

zbiega do zera, to krzywa zbiega do funkcji Gompertza. W modelowaniu epidemiologicznym, θ 1 {{displaystyle ξ _{1}}

, θ 2 {displaystyle θ _{2}}

, oraz θ 3 {displaystyle \theta _{3}}

reprezentują odpowiednio ostateczny rozmiar epidemii, współczynnik zakażenia i fazę opóźnienia. Zobacz prawy panel dla przykładowej trajektorii infekcji, gdy ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {displaystyle (θtheta _{1},θ 2 , θ 3 )}

są wyznaczone przez ( 10 , 000 , 0.2 , 40 ) {displaystyle (10,000,0.2,40)}

.

Ekstrapolowane trajektorie infekcji 40 krajów poważnie dotkniętych przez COVID-19 i wielka (populacyjna) średnia do 14 maja

Jedną z korzyści płynących z używania funkcji wzrostu, takich jak uogólniona funkcja logistyczna w modelowaniu epidemiologicznym, jest jej stosunkowo łatwe rozszerzenie na ramy modelu wielopoziomowego poprzez użycie funkcji wzrostu do opisania trajektorii infekcji z wielu podmiotów (krajów, miast, stanów, itp.) Patrz powyższy rysunek. Takie ramy modelowania mogą być również szeroko nazywane nieliniowym modelem efektów mieszanych lub hierarchicznym modelem nieliniowym.

Prawo Gomp-ex wzrostuEdit

W oparciu o powyższe rozważania, Wheldon zaproponował model matematyczny wzrostu guza, zwany modelem Gomp-Ex, który nieznacznie modyfikuje prawo Gompertza. W modelu Gomp-Ex zakłada się, że początkowo nie ma konkurencji o zasoby, więc populacja komórek rozrasta się zgodnie z prawem wykładniczym. Istnieje jednak krytyczny próg wielkości X C {{C}}

taki, że dla X > X C {{displaystyle X>X_{C}}

. Założenie, że nie ma konkurencji o zasoby jest prawdziwe w większości scenariuszy. Mogą na nią jednak wpływać czynniki ograniczające, co wymaga stworzenia zmiennych podczynnikowych.

wzrost następuje zgodnie z prawem Gompertza:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {displaystyle F(X)=max \left(a,\alpha \log \left(\frac {K}{X}} \right)}

więc:

X C = K exp ( – a α ) . {{displaystyle X_{C}=K exp left(-{frac {a}{alpha}}}right).}

Tutaj są pewne numeryczne oszacowania dla X C {displaystyle X_{C}}