Does 1+2+3… Really Equal -1/12?

Film Numberphile opublikowany na początku tego miesiąca twierdzi, że suma wszystkich dodatnich liczb całkowitych jest -1/12.

Zazwyczaj jestem fanem załogi Numberphile, którzy wykonują świetną robotę czyniąc matematykę ekscytującą i przystępną, ale ten filmik mnie rozczarował. Istnieje sensowny sposób, aby powiązać liczbę -1/12 z serią 1+2+3+4…, ale moim zdaniem, nazywanie jej sumą serii jest mylące. Co więcej, sposób, w jaki jest to przedstawione, przyczynia się do błędnego przekonania, z którym często spotykam się jako nauczyciel matematyki, że matematycy arbitralnie zmieniają zasady bez wyraźnego powodu, a uczniowie nie mają nadziei wiedzieć, co jest, a co nie jest dozwolone w danej sytuacji. W poście dotyczącym tego filmu fizyk Dr Skyskull mówi: „przygnębiająco duża część populacji automatycznie zakłada, że matematyka jest jakimś nieintuicyjnym, dziwacznym czarodziejstwem, które tylko superinteligentni mogą zgłębić. Pokazywanie tak szalonego wyniku bez kwalifikacji tylko wzmacnia ten pogląd i moim zdaniem wyrządza matematyce niedźwiedzią przysługę.”

Dodawanie jest operacją binarną. Wkładasz dwie liczby, a otrzymujesz jedną. Ale można rozszerzyć go na więcej liczb. Jeśli masz, na przykład, trzy liczby, które chcesz dodać razem, można dodać dwa dowolne z nich pierwszy, a następnie dodać trzeci jeden do sumy wynikowej. Możemy to robić dla dowolnej skończonej liczby dodawanych liczb (a prawa arytmetyki mówią, że otrzymamy tę samą odpowiedź bez względu na to, w jakiej kolejności je dodamy), ale kiedy próbujemy dodać nieskończoną liczbę pojęć razem, musimy dokonać wyboru, co oznacza dodawanie. Najczęstszym sposobem radzenia sobie z nieskończonym dodawaniem jest użycie pojęcia granicy.

Prawie mówiąc, mówimy, że suma nieskończonego szeregu jest liczbą L, jeśli, gdy dodajemy coraz więcej terminów, zbliżamy się do liczby L. Jeśli L jest skończona, nazywamy szereg zbieżny. Jednym z przykładów szeregu zbieżnego jest 1/2+1/4+1/8+1/16…. Ten szereg jest zbieżny do liczby 1. Łatwo zauważyć dlaczego: po pierwszym wyrazie jesteśmy w połowie drogi do 1. Po drugim wyrazie, jesteśmy w połowie pozostałej odległości do 1, i tak dalej.

Paradoks Zenona mówi, że tak naprawdę nigdy nie dojdziemy do 1, ale z granicznego punktu widzenia możemy się do niej zbliżyć tak bardzo, jak tylko chcemy. To jest definicja „sumy”, którą matematycy zwykle mają na myśli, gdy mówią o nieskończonych szeregach, i w zasadzie zgadza się ona z naszą intuicyjną definicją słów „suma” i „równy”.”

Ale nie każdy szereg jest zbieżny w tym sensie (szeregi nie zbieżne nazywamy rozbieżnymi). Niektóre, jak 1-1+1-1…, mogą się obracać między różnymi wartościami, gdy dodajemy kolejne wyrazy, a niektóre, jak 1+2+3+4… mogą się dowolnie powiększać. Jest więc całkiem jasne, że używając granicznej definicji zbieżności dla szeregu, suma 1+2+3… nie jest zbieżna. Gdybym powiedział: „Myślę, że granicą tego szeregu jest jakaś skończona liczba L”, mógłbym z łatwością wymyślić, ile wyrazów dodać, aby dostać się tak daleko powyżej liczby L, jak tylko chcę.

Istnieją sensowne sposoby powiązania liczby -1/12 z szeregiem 1+2+3…, ale wolę nie nazywać -1/12 „sumą” liczb całkowitych dodatnich. Jednym ze sposobów podejścia do tego problemu jest idea kontynuacji analitycznej w analizie zespolonej.

Powiedzmy, że mamy funkcję f(z), która jest zdefiniowana gdzieś na płaszczyźnie zespolonej. Dziedzinę, w której funkcja jest określona nazywamy U. Możesz wymyślić sposób na skonstruowanie innej funkcji F(z), która jest określona w większym obszarze tak, że f(z)=F(z) zawsze, gdy z jest w U. Tak więc nowa funkcja F(z) zgadza się z oryginalną funkcją f(z) wszędzie tam, gdzie f(z) jest określona, i jest określona w pewnych punktach poza dziedziną f(z). Funkcja F(z) jest nazywana analityczną kontynuacją f(z). („The” jest odpowiednim rodzajnikiem, ponieważ kontynuacja analityczna funkcji jest unikalna.)

Analgetyczna kontynuacja jest użyteczna, ponieważ funkcje złożone są często definiowane jako nieskończone szeregi obejmujące zmienną z. Jednakże większość nieskończonych szeregów jest zbieżna tylko dla pewnych wartości z i byłoby dobrze, gdybyśmy mogli zdefiniować funkcje w większej liczbie miejsc. Analityczna kontynuacja funkcji może zdefiniować wartości funkcji poza obszarem, w którym jej nieskończony szereg jest zbieżny. Możemy powiedzieć, że 1+2+3…=-1/12 poprzez doposażenie analitycznej kontynuacji funkcji w jej oryginalną definicję nieskończonego szeregu, posunięcie, które powinno być wykonane z przymrużeniem oka w stylu Lucille Bluth.

Funkcją, o której mowa jest funkcja zeta Riemanna, która jest znana ze swoich głębokich powiązań z pytaniami o rozkład liczb pierwszych. Gdy część rzeczywista liczby s jest większa od 1, funkcję zeta Riemanna ζ(s) definiuje się jako Σ∞n=1n-s. (Zwykle używamy litery z dla zmiennej w funkcji złożonej. W tym przypadku używamy s w odniesieniu do Riemanna, który zdefiniował funkcję zeta w pracy z 1859 roku). Ten nieskończony szereg nie jest zbieżny, gdy s=-1, ale można zauważyć, że gdy wstawimy s=-1, otrzymamy 1+2+3…. Funkcja zeta Riemanna jest analityczną kontynuacją tej funkcji na całą płaszczyznę złożoną minus punkt s=1. Gdy s=-1, ζ(s)=-1/12. Stawiając znak równości między ζ(-1) a formalnym szeregiem nieskończonym, który definiuje funkcję w niektórych innych częściach płaszczyzny zespolonej, otrzymujemy twierdzenie, że 1+2+3…=-1/12.

Analitetyczna kontynuacja nie jest jedynym sposobem na powiązanie liczby -1/12 z serią 1+2+3…. Aby uzyskać bardzo dobre, dogłębne wyjaśnienie sposobu, który nie wymaga skomplikowanej analizy – w komplecie z ćwiczeniami domowymi – sprawdź post Terry’ego Tao na ten temat.

The Numberphile wideo przeszkadzało mi, ponieważ mieli okazję porozmawiać o tym, co to znaczy przypisać wartość do nieskończonej serii i wyjaśnić różne sposoby robienia tego. Jeśli już wiesz trochę o temacie, możesz obejrzeć ten film i dłuższy powiązany film na ten temat i złapać smakołyki tego, co naprawdę się dzieje. Ale czynnik „wow” filmu pochodzi z faktu, że nie ma sensu, aby grupa liczb dodatnich sumowała się do liczby ujemnej, jeśli widzowie zakładają, że „suma” oznacza to, co myślą, że oznacza.

Gdyby Numberphiles byli bardziej wyraźni w kwestii alternatywnych sposobów kojarzenia liczb z seriami, mogliby zrobić więcej niż tylko sprawić, że ludzie myślą, że matematycy zawsze zmieniają zasady. Na końcu filmu producent Brady Haran pyta fizyka Tony’ego Padillę, czy gdybyś dodawał liczby całkowite w nieskończoność na swoim kalkulatorze i wcisnął przycisk „równaj” na końcu, otrzymałbyś -1/12. Padilla bezczelnie odpowiada: „Musisz dążyć do nieskończoności, Brady!”. Ale odpowiedź powinna brzmieć „Nie!” Tutaj, myślę, że przegapili okazję, aby wyjaśnić, że używają alternatywnego sposobu przypisywania wartości do nieskończonej serii, która uczyniłaby wideo znacznie mniej mylące.

Inni ludzie napisali dobre rzeczy o matematyce w tym filmie. Po zbyt łatwowiernym wpisie na blogu Slate na ten temat, Phil Plait napisał o wiele bardziej zrównoważone wyjaśnienie różnych sposobów przypisywania wartości do serii. Jeśli chcesz pracować przez szczegóły „dowodu” na własną rękę, John Baez ma cię pokryte. Blake Stacey i Dr. Skyskull piszą o tym, jak podstawienie liczby -1/12 do sumy liczb całkowitych dodatnich może być przydatne w fizyce. Richard Elwes postuje nieskończoną serię „ostrzeżenie zdrowia i bezpieczeństwa” z udziałem mojego starego ulubieńca, serii harmonicznej. Myślę, że rozprzestrzenianie się dyskusji o tym, co ta nieskończona seria oznacza jest dobre, chociaż chciałbym więcej z tej dyskusji może być w filmie, który ma ponad milion wyświetleń na YouTube do tej pory!