Complexity Analysis of a Cournot-Bertrand Duopoly Game Model with Limited Information
On 23 listopada, 2021 by adminAbstract
A Cournot-Bertrand mixed duopoly game model with limited information about the market and opponent is considered, where the market has linear demand and two firms have the same fixed marginal cost. Zasady podejmowania decyzji są ograniczone racjonalne. Jedna firma wybiera wielkość produkcji, a druga cenę jako zmienną decyzyjną, przy założeniu, że istnieje pewien stopień zróżnicowania produktów oferowanych przez firmy, aby uniknąć zajęcia całego rynku przez tę, która stosuje niższą cenę. Badane jest istnienie punktu równowagi Nasha oraz jej lokalna stabilność. Złożona dynamika, taka jak scenariusze bifurkacyjne i droga do chaosu, jest pokazana za pomocą wykresów basenu parametrów poprzez eksperyment numeryczny. Wpływ parametrów na działanie systemu jest dyskutowany z perspektywy ekonomii.
1. Wprowadzenie
Oligopol jest strukturą rynkową pomiędzy monopolem a konkurencją doskonałą, w której rynek jest całkowicie kontrolowany tylko przez kilka firm produkujących takie same lub jednorodne produkty. Jeśli istnieją dwie firmy, nazywa się to duopolem, a jeśli istnieją trzej konkurenci, jest to znane jako triopol.
Cournot oligopol i Bertrand oligopol są dwa najbardziej godne uwagi modele w teorii oligopolu. W modelu Cournota firmy kontrolują swój poziom produkcji, co wpływa na cenę rynkową, natomiast w modelu Bertranda firmy wybierają cenę jednostki produktu, aby wpłynąć na popyt rynkowy.
Duża ilość literatury zajmuje się konkurencją Cournota lub Bertranda na rynku oligopolistycznym, ale tylko znacznie mniejsza ilość prac poświęcona jest konkurencji Cournota-Bertranda, które charakteryzują się tym, że rynek można podzielić na dwie grupy firm, z których pierwsza optymalnie dostosowuje ceny, a druga optymalnie dostosowuje swoją produkcję, aby zapewnić maksymalny zysk .
Model Cournota-Bertranda występuje w realistycznej gospodarce. Na przykład, w duopoly rynek, jeden firma konkurować w dominujący pozycja, i ono wybierać produkcja jako decyzja zmienna podczas gdy inny jeden być w disadvantage, i ono wybierać cena jako decyzja zmienna po to, aby zyskiwać więcej udział w rynku. Jak wiemy do tej pory, Bylka i Komar oraz Singh i Vives są pierwszymi autorami, którzy analizowali duopole, gdzie jedna firma konkuruje na ilości, a druga na cenach. Häckner , Zanchettin oraz Arya et al. wskazali, że w niektórych przypadkach konkurencja Cournot-Bertrand może być optymalna. Ostatnio C. H. Tremblay i V. J. Tremblay przeanalizowali rolę zróżnicowania produktów dla statycznych własności równowagi Nash duopolu Cournot-Bertrand. Naimzada i Tramontana rozważali model duopolu Cournot-Bertrand, który jest charakteryzowany przez liniowe równania różniczkowe. Oni także analizować the rola najlepszy odpowiedź dynamika i adaptacyjny dostosowanie mechanizm dla stabilność the equilibrium.
W ten praca, my set up Cournot-Bertrand duopoly model, zakładać że dwa firma wybierać produkcja i cena jako decyzja zmienna, odpowiednio, i wszystkie mieć ograniczony racjonalny oczekiwanie. System gier może być opisany przez nieliniowe równania różnicowe, co modyfikuje i rozszerza wyniki Naimzady i Tramontana, którzy rozważali firmy ze statycznymi oczekiwaniami i opisywali je liniowymi równaniami różnicowymi. The badanie prowadzić dobry poradnik dla przedsiębiorstwo decydent robić najlepszy decision-making.
The praca organizować jako następujący Cournot-Bertrand gra model z ograniczony racjonalny oczekiwania opisywać w sekcja 2. W sekcja 3, istnienie i stabilność equilibrium punkty badać. Dynamiczne zachowania przy pewnych zmianach parametrów kontrolnych gry są badane przez symulacje numeryczne w Rozdziale 4. Finally, a conclusion is drawn in Section 5.
2. The Cournot-Bertrand Game Model with Bounded Rational Expectations
We consider a market served by two firms and firm produces good , . Istnieje pewien stopień zróżnicowania między produktami i . Firma 1 konkuruje pod względem produkcji jak w duopolu Cournota, natomiast firma 2 ustala swoją cenę jak w przypadku Bertranda. Załóżmy, że firmy dokonują swoich wyborów strategicznych jednocześnie i każda firma zna produkcję i cenę każdej innej firmy.
Odwrotne funkcje popytu na produkty odmiany 1 i 2 pochodzą z maksymalizacji przez reprezentatywnego konsumenta następującej funkcji użyteczności: z zastrzeżeniem ograniczenia budżetowego i są dane następującymi równaniami (szczegółowy dowód patrz ): gdzie parametr oznacza wskaźnik zróżnicowania produktu lub substytucji produktu. Stopień zróżnicowania produktów będzie rósł wraz z . Produkty i są homogeniczne, gdy , a każda firma jest monopolistą, gdy , natomiast wartość ujemna oznacza, że produkty są komplementarne. Przyjmijmy, że obie firmy mają taki sam koszt krańcowy , a funkcja kosztu ma postać liniową: System popytu możemy zapisać w dwóch zmiennych strategicznych, oraz : Funkcje zysku firmy 1 i 2 mają postać:
Zakładamy, że obie firmy nie mają pełnej wiedzy o rynku i drugim graczu, a decyzje budują na podstawie oczekiwanego zysku krańcowego. Jeśli zysk krańcowy jest dodatni (ujemny), to zwiększają (zmniejszają) swoją produkcję lub cenę w następnym okresie; czyli są ograniczonymi racjonalnymi graczami. Wtedy mieszany system dynamiczny Cournot-Bertrand może być opisany przez nieliniowe równania różnicy: gdzie i reprezentują odpowiednio szybkość dostosowania dwóch graczy w każdej relacji.
3. Punkty równowagi i lokalna stabilność
System (6) ma cztery punkty równowagi: gdzie , . i są punktami równowagi granicznej, i jest unikalnym punktem równowagi Nasha pod warunkiem, że i , co wymaga . W przeciwnym razie z rynku wypadnie jedna firma.
W celu zbadania lokalnej stabilności punktów równowagi, niech będzie macierzą Jakobianową układu (6) odpowiadającą zmiennym stanu , wtedy gdzie , . Stabilność punktów równowagi będzie określona przez charakter wartości własnych macierzy Jakobianowej ocenianych w odpowiednich punktach równowagi.
Propozycja 1. Równowagi brzegowe , , i układu (6) są punktami równowagi niestabilnej, gdy .
Dowód. Dla równowagi , macierz jakobianowa układu (6) jest równa Te wartości własne, które odpowiadają równowadze są następujące: Ewidentnie , wtedy punkt równowagi jest niestabilny.
Również przy macierzy Jakobianowej staje się macierzą trójkątną Te wartości własne, które odpowiadają równowadze są następujące: Gdy , ewidentnie . Zatem punkt równowagi jest niestabilny. Podobnie możemy udowodnić, że jest również niestabilny.
Z ekonomicznego punktu widzenia bardziej interesuje nas badanie lokalnych własności stabilności punktu równowagi Nasha, którego własności zostały dogłębnie przeanalizowane w .
Macierz Jakobian oceniana w punkcie równowagi Nasha jest następująca
Ślad i wyznacznik oznaczamy odpowiednio jako i , . W odniesieniu do punktów , , i , teraz trudniej jest jednoznacznie obliczyć wartości własne, ale nadal można ocenić stabilność punktu równowagi Nasha stosując następujące warunki stabilności, znane jako warunki Jury’ego : Powyższe nierówności definiują region, w którym punkt równowagi Nasha jest lokalnie stabilny. Ponadto, możemy dowiedzieć się więcej o tym regionie stabilności poprzez symulacje numeryczne. W celu zbadania złożonej dynamiki układu (6), wygodnie jest przyjąć następujące wartości parametrów: Rysunek 1 przedstawia na płaszczyźnie parametrów regiony stabilności i niestabilności. Na podstawie rysunku można stwierdzić, że zbyt duża prędkość regulacji powoduje utratę stabilności punktu równowagi Nasha. Stwierdzamy również, że prędkość dostosowania ceny jest bardziej wrażliwa niż prędkość produkcji, a gdy około , punkt równowagi Nasha straci stabilność, podczas gdy około punkt równowagi Nasha zrobi to.
Region stabilności i niestabilności.
4. Wpływ parametrów na stabilność układu
Plany basenu parametrów (zwane również diagramami bifurkacyjnymi 2D) są potężniejszym narzędziem w numerycznej analizie dynamiki nieliniowej niż diagramy bifurkacyjne 1D , które przypisują różne kolory w przestrzeni parametrów 2D cyklom stabilnym o różnych okresach. W tym rozdziale, wykresy przestrzeni parametrów zostaną wykorzystane do analizy wpływu szybkości dostosowania się graczy oraz indeksu zróżnicowania produktów na stabilność systemu. Ustawiamy i wybieramy wartości początkowe jako .
4.1. The Effects of Players’ Adjustment Speed on System Stability
Rysunek 2 przedstawia zlewnię parametrów w odniesieniu do parametrów gdy i przypisuje różne kolory stabilnym stanom ustalonym (ciemnoniebieskie); stabilny cykl okresów 2 (jasnoniebieski), 4 (purpurowy), i 8 (zielony) (pierwszy cztery cykl w okres-dwukrotny bifurkacja droga do chaosu) i okresy 3 (czerwony), 5 (pomarańczowy), i 7 (różowy) (niski porządek stabilny cykl nieparzysty okres); chaos (żółty); dywergencja (biały) (co oznacza jeden z graczy będzie z rynku w ekonomii).
Zlewnia parametrów dla .
Możemy stwierdzić, że gdy parametry przechodzą przez granice jak czarne strzałki i , układ (6) traci stabilność poprzez bifurkację flip (zwaną bifurkacją period-douling w układzie ciągłym), jak pokazano na rysunkach 3 i 4. Ale kiedy parametry przekraczają granice jak strzałka , dynamiczne zachowanie systemu jest bardziej skomplikowane i po raz pierwszy wchodzi w chaos poprzez bifurkację Neimarka-Sackera (zwaną bifurkacją Hopfa w systemie ciągłym), po raz drugi wchodzi w okres 2, a następnie ewoluuje w chaos poprzez bifurkację flip oddzielnie, jak pokazano na rysunku 5. Zauważamy również, że w żółtym regionie (chaos) znajduje się czerwona linia i pomarańczowe punkty (cykl nieparzysty); to znaczy, że istnieje przerywany cykl nieparzysty w chaosie, jak pokazano na rysunkach od 3 do 5. Dobrze wiadomo, że dla map ciągłych 1D, cykl o nieparzystym okresie implikuje chaotyczne zachowanie dynamiczne (tzw. chaos topologiczny) zgodnie ze słynnym wynikiem Li i Yorke’a „period 3 implies chaos” .
Diagram bifurkacyjny dla i zmienia się od 1.5 do 3.5.
Wykres bifurkacyjny dla i zmienia się od 1,5 do 2,8.
Wykres bifurkacyjny dla i zmienia się od 1,8 do 2,8.
Z perspektywy ekonomii, firmowy dostosowanie prędkość i powinien być w pewnym zakresie; inaczej, system przychodzić naprzód cykl fluktuacja, i wtedy w chaos, che znaczyć nieregularny, wrażliwy początkowy wartość, nieprzewidywalny i zły dla gospodarka. My także znajdować że nastawczy zakres być wielki niż ten , che znaczyć dostosowanie cena być bardziej wrażliwy ten produkcja, i cena wojna być łatwy rynek w chaos.
4.2. The Effects of the Index of Product Differentiation on System Stability
W celu znalezienia wpływów indeksu zróżnicowania produktów na stabilność systemu, na rysunkach 6, 7, 8 i 9 podano kotliny parametrów dla , , , i oddzielnie.
Kotlina parametrów dla .
Zlewnia parametrów dla .
Zlewnia parametrów dla .
Zlewnia parametrów dla .
Z porównania widać, że ciemnoniebieski obszar staje się większy, a żółty mniejszy wraz ze wzrostem indeksu zróżnicowania produktów; to znaczy, że stopień zróżnicowania produktów jest mniejszy, a regulowany zakres parametrów i aby system pozostał stabilny stanie się większy, co oznacza większą konkurencję między produktami dwóch firm.
5. Conclusions
W niniejszej pracy proponujemy model gry mieszanej Cournot-Bertrand, zakładając, że firmy nie mają pełnej informacji o rynku i przeciwniku, a swoje decyzje podejmują zgodnie z własnym zyskiem krańcowym. Zakłada się, że funkcja popytu i kosztów jest liniowa, a model może być opisany równaniami różniczkowymi. Równowaga graniczna jest zawsze niestabilna, a istnienie i lokalna stabilność równowagi Nash są analizowane. Ponadto, analizujemy wpływ parametrów (szybkość dostosowania i indeks zróżnicowania produktów) na stabilność systemu, a różne bifurkacje i drogi do chaosu są analizowane przy użyciu wykresów basenu parametrów. The Cournot-Bertrand gra model pod różny marketing środowisko potrzebować rozważać, i ono być interesujący temat dla przyszły badanie.
Podziękowania
The autor dziękować the recenzent za ich ostrożny czytanie i providing niektóre trafny sugestia. Badania były wspierane przez National Natural Science Foundation of China (nr 61273231).
Dodaj komentarz