Waarom is 0,999… gelijk aan 1?!

Een andere manier om over de termen in onze sommatie na te denken is dat elke opeenvolgende term wordt verkregen door de vorige term met een gemeenschappelijke verhouding te vermenigvuldigen.

Dat betekent dat we een meetkundige reeks hebben die convergeert naar a/(1 – r) waarbij a de eerste waarde in de reeks is en r de verhouding is waarmee we vermenigvuldigen om de volgende term te krijgen.

Convergentie in een reeks betekent eenvoudigweg dat de reeks steeds dichter bij een bepaalde waarde zal komen naarmate u meer en meer termen aan de reeks toevoegt. De reeks komt oneindig dicht bij de convergentiewaarde. Op een oneindige schaal wordt convergentie gelijkheid.

In ons geval beginnen we met 1/10 en vermenigvuldigen we telkens met 1/10, dus zowel a als r = 1/10.

Voltooi de rekensom aan het rechterlid.

Nu hebben we formeel aangetoond dat 0.999… convergeert naar of gelijk is aan 1.

Eindgedachten & Inspiratie

Als dit vreemd aanvoelt voor u, dan is dat goed! U weet dat twee verschillende getallen, in feite verschillende getallen zouden moeten zijn. De tegen-intuïtieve aard van dit probleem is inherent aan het vreemde dat het werken met oneindigheid met zich meebrengt.

Zelfs in een eenvoudig probleem als dit, beweeg je je van de grenzen van wat tastbaar is voor het menselijk brein naar een schaal die op een bepaalde manier ons begrip te boven gaat. Als eindige wezens kunnen we het concept van oneindigheid of voor altijd begrijpen, maar we kunnen het nooit echt ervaren. Dat betekent dat wat wij in onze eindige wereld als waarheid kennen, zich op een oneindig niveau vaak anders blijkt te gedragen.

Het accepteren van de overgang van gemakkelijk te ontdekken en te reproduceren wiskunde naar wat alleen in onze geest kan worden getest en verbeeld, maakt deel uit van de schoonheid en het wonder van de wiskunde.

Neem de les van vandaag dus niet klakkeloos over en haal er je schouders over op.

Laat er een laag mist tussen jou en het perfecte begrip staan. Laat je geest opgeblazen worden door het feit dat oneindigheid zich vreemd gedraagt. En laat het je hunkeren naar meer begrip en vooral naar meer wiskunde.

Dank voor het lezen en het overpeinzen van oneindigheid met mij vandaag!