Pi: Het belangrijkste getal in het heelal?

Door Edward B. Burger, Ph.D, Southwestern University

Een van de belangrijkste getallen in ons universum is het getal Pi of π. Verken de odyssee van de mensheid – pogingen door de eeuwen heen die werkelijk culturen overstijgen – om dit raadselachtige getal te berekenen, te benaderen en te begrijpen.

Een definitie

Hoewel de oorsprong van π niet met zekerheid bekend is, weten we dat de Babyloniërs π rond 1800 v.Chr. benaderden in basis 60. De definitie van π draait om cirkels. Het is de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter – een getal dat net iets groter is dan drie.

De constante π helpt ons ons universum beter te begrijpen. De definitie van π inspireerde tot een nieuw begrip voor de meting van hoeken, een nieuwe meeteenheid. Deze belangrijke hoekmaat staat bekend als “radiaalmaat” en gaf aanleiding tot veel belangrijke inzichten in onze fysieke wereld. Wat π zelf betreft, toonde Johann Lambert in 1761 aan dat π een irrationeel getal is, en later, in 1882, bewees Ferdinand von Lindemann dat π geen oplossing is van een veeltermvergelijking met gehele getallen. Veel vragen over π blijven echter onbeantwoord.

Leer meer: Meetkunde-Polygonen en cirkels

Experimenteren met Pi

Een discussie over de oorsprong van pi moet beginnen met een experiment met cirkels dat we allemaal kunnen proberen. Neem een willekeurige cirkel en meet de lengte van de omtrek – dat is de lengte rondom – en meet die af aan de diameter – dat is de lengte overdwars. Je komt uit op drie diameters en net iets meer, en als je goed kijkt, is het iets meer dan 1/10 van de weg extra. Dit experiment laat ons zien dat de verhouding tussen de omtrek en de diameter een getal is dat rond, of iets groter dan, 3,1 ligt. Het maakt niet uit hoe groot de cirkel is, de omtrek is iets groter dan drie keer de diameter.

Dit is een transcript uit de videoserie Zero to Infinity. Bekijk hem nu, op The Great Courses.

Deze vaste, constante waarde heeft een naam gekregen, en we noemen hem π. Hoe zeggen we het preciezer? Het getal π is gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek van een willekeurige cirkel en zijn middellijn in doorsnee. Deze verhouding is constant. Ongeacht de grootte van de cirkel waarmee we dit proberen, dat getal zal altijd hetzelfde zijn. Het begint met 3,141592653589, en het blijft maar doorgaan.

Het symbool π komt van de Griekse letter π, omdat het Griekse woord voor “periferie” begint met de Griekse letter π. De periferie van een cirkel was de voorloper van de omtrek van een cirkel, die we tegenwoordig omtrek noemen. Het symbool π komt voor het eerst voor in de tekst A New Introduction to Mathematics van William Jones uit 1709, en het symbool werd later populair gemaakt door de grote 18e-eeuwse Zwitserse wiskundige Leonhard Euler rond 1737.

Learn More: Getaltheorie – Priemgetallen en delers

Van Babylon tot de Bijbel

Om van de naam naar de waarde te gaan, is er bewijs dat de Babyloniërs π benaderden in basis 60 rond 1800 v. Chr. In feite geloofden zij dat π = 25/8, of 3,125 – een verbazingwekkende benadering voor zo vroeg in de menselijke geschiedenis. De oude Egyptische schrijver Ahmes, die in verband wordt gebracht met de beroemde Rhind Papyrus, gaf de benadering 256/81, wat neerkomt op 3,16049. Ook hier zien we een indrukwekkende benadering van deze constante. Er is zelfs een impliciete waarde van π gegeven in de Bijbel. In 1 Koningen 7:23 wordt van een rond bekken gezegd dat het een omtrek heeft van 30 kubieke meter en een diameter van 10 kubieke meter. In de Bijbel staat dus impliciet dat π gelijk is aan 3 (30/10).

Het is dan ook niet verwonderlijk dat naarmate het begrip van de mensheid van getallen evolueerde, ook haar vermogen om π zelf beter te begrijpen en dus te schatten, toenam. In het jaar 263 geloofde de Chinese wiskundige Liu Hui dat π = 3,141014.

Ongeveer 200 jaar later benaderde de Indiase wiskundige en astronoom Aryabhata π met de breuk 62.832/20.000, wat neerkomt op 3,1416 – een werkelijk verbazingwekkende schatting. Rond 1400 berekende de Perzische astronoom Kashani π correct tot op 16 cijfers.

Hoe hoeken te meten met Pi

Laten we even loskomen van deze historische jacht op de cijfers van π en π beschouwen als een belangrijk getal in ons universum. Gezien het verband van π met het meten van omtrekken van cirkels, werden geleerden geïnspireerd om het te gebruiken als een maat voor hoekafstand. Beschouw een cirkel met straal 1. De straal is gewoon de maat van het middelpunt naar de rand. Het is de helft van de diameter.

De traditionele eenheden voor het meten van hoeken zijn natuurlijk graden. Met graden heeft een volledige omwenteling rond de cirkel een maat van 360 graden, wat toevallig ongeveer overeenkomt met het aantal dagen in een volledig jaar en wat zou kunnen verklaren waarom we denken aan eenmaal rond als 360.

In plaats van de willekeurige maat van 360 om eenmaal rond de cirkel te betekenen, laten we eens de werkelijke lengte van eenmaal rond deze specifieke cirkel, een cirkel met straal 1, berekenen. Wat is de lengte en de omtrek daarvan? Als we een straal van 1 hebben, dan is onze diameter tweemaal dat, 2, en zo weten we dat de eenmaal-rond 2 maal π zal zijn omdat de omtrek π maal de diameter is.

Eenmaal rond zal 2π zijn. Een volledige omwenteling, dat is een hoek van 360 graden, zou met een omtreklengte van 2π in deze specifieke cirkel worden uitgeveegd. Halverwege zou 180 graden zijn, en we zouden de helft van de omtrek uitvegen, wat in dit geval π zou zijn. Negentig graden zou een kwart van de cirkel uitvegen, en voor deze specifieke cirkel zou dat lengte π/2 hebben, of de helft van π.

We beginnen te zien dat elke hoek overeenkomt met een afstand gemeten gedeeltelijk of helemaal rond deze specifieke cirkel met straal 1. Met andere woorden, voor elke hoek kunnen we de lengte meten van de boog van deze cirkel die door die hoek wordt uitgezwaaid.

Deze booglengte geeft een nieuwe manier om de maat van een hoek weer te geven, en we noemen deze maat van hoeken “radiaalmaat”. Bijvoorbeeld, 360 graden = 2π radialen, dat zijn de eenheden; 180 graden is gelijk aan π radialen, en 90 graden zou gelijk zijn aan π/2 radialen. Onthoud dat al deze maten altijd gebaseerd zijn op een speciale cirkel met straal 1.

Lees meer over meetkunde en de Transformatietactiek

Radische maten en de macht van Pi

Het blijkt dat deze radiale maat veel bruikbaarder is bij het meten van hoeken voor wiskunde en natuurkunde dan de meer bekende graadmaat. Dit feit is niet verwonderlijk. De radiaalmaat is via de omtreklengte op natuurlijke wijze verbonden met de hoek, in plaats van de meer willekeurige graadmaat die geen wiskundige onderbouwing heeft. Het is een benadering door een volledig jaar.

De term radiaal verscheen voor het eerst in druk in de jaren 1870, maar tegen die tijd gebruikten grote wiskundigen, waaronder de grote wiskundige Leonhard Euler, al meer dan honderd jaar hoeken gemeten in radialen.

Het getal π komt voor in talloze belangrijke formules en theorieën, waaronder het Heisenberg onzekerheidsprincipe en Einstein’s veldvergelijking uit de algemene relativiteit. Het is een belangrijke formule en getal over de hele wereld.

Gemeenschappelijke vragen over het getal Pi