Orthonormale vectoren

Wat is een orthonormale vector?

Een vector is normaal als hij een lengte van 1 heeft. Twee vectoren zijn orthogonaal als ze loodrecht op elkaar staan (hun scalair product is nul). Een verzameling vectoren wordt orthonormaal genoemd als ze allemaal normaal zijn, en elk paar vectoren in de verzameling orthogonaal is.

Orthonormale vectoren worden gewoonlijk gebruikt als een basis op een vectorruimte. Het vaststellen van een orthonormale basis voor gegevens maakt berekeningen aanzienlijk eenvoudiger; de lengte van een vector is bijvoorbeeld eenvoudigweg de vierkantswortel uit de som van de kwadraten van de coördinaten van die vector ten opzichte van een of andere orthonormale basis.

QR Decompositie

Een QR Decompositie van een reële vierkante matrix A is het proces van het vinden van twee matrices Q en R zodanig dat:

• A = QR

• Q is een orthogonale matrix

• R is een bovenste-driehoekige matrix

(als A een complexe vierkante matrix is, of een rechthoekige matrix, dan zal Q een unitaire matrix zijn.)

Er zijn een aantal methoden om een QR-decompositie van een matrix te berekenen, waaronder het Gram-Schmidt proces, Householder transformaties, of Givens rotaties. Elke methode heeft voor- en nadelen, dus uitvoerders moeten elk van deze algoritmen zorgvuldig bestuderen voor een gegeven probleem.

QR decompositie wordt vaak gebruikt in de oplossing van het lineaire kleinste kwadraten probleem. Het is ook de basis van een eigenvector-vind-algoritme, dat treffend het QR-algoritme wordt genoemd (hoewel ironisch genoeg de moderne vorm van het algoritme eigenlijk niet de berekening van een QR-decompositie inhoudt!