MathBootCamps

Lineaire vergelijkingen in één variabele zijn vergelijkingen waarbij de variabele een exponent van 1 heeft, die meestal niet wordt weergegeven (het wordt wel begrepen). Een voorbeeld zou zijn iets als 12x = x – 5). Om lineaire vergelijkingen op te lossen, is er één hoofddoel: de variabele isoleren. In deze les zullen we aan de hand van een aantal voorbeelden bekijken hoe we dat kunnen doen.

Inhoudsopgave

1. Voorbeelden van het oplossen van eenstapsvergelijkingen
2. Voorbeelden van het oplossen van twee-stapsvergelijkingen
3. Voorbeelden van vergelijkingen waarbij je eerst moet vereenvoudigen
4. Oneindig veel of geen oplossingen
5. Samenvatting

Voorbeelden van het oplossen van lineaire vergelijkingen in één stap

Na al je harde werk bij het oplossen van de vergelijking, weet je dat je een eindresultaat wilt zoals x=5 of y=1. In beide gevallen is de variabele geïsoleerd, of op zichzelf.

Dus moeten we uitzoeken hoe we de variabele kunnen isoleren. Hoe we dit doen hangt af van de vergelijking zelf! Als het vermenigvuldigd is met iets, zullen we delen. Als er iets bij is opgeteld, trekken we af. Door dit te doen, krijgen we langzaam de variabele uit zichzelf.

Laten we een voorbeeld gebruiken om te zien hoe dit werkt.

Voorbeeld

Oplos de vergelijking:

Oplossing

In dit voorbeeld vermenigvuldigt de 4 de \(x). Om \(x\) te isoleren, moet je die zijde delen door 4. Als je dit doet, moet je een belangrijke regel onthouden: wat je aan de ene kant van de vergelijking doet, moet je ook aan de andere kant doen. We delen dus beide kanten door 4.

(\begin{align}4x &= 8 \\dfrac{4x}{4}} &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}

Vereenvoudigen:

(x = \boxed{2})

Dat is het, één stap en we zijn klaar. (Daarom worden vergelijkingen als deze vaak “eenstapsvergelijkingen” genoemd)

Check

Altijd als je lineaire vergelijkingen oplost, kun je je antwoord altijd controleren door het terug in de vergelijking te substitueren. Als je een ware uitkomst krijgt, dan is het antwoord juist. Dit is niet 100% noodzakelijk voor elk probleem, maar het is een goede gewoonte, dus we zullen het doen voor onze vergelijkingen.

In dit voorbeeld was onze oorspronkelijke vergelijking \(4x = 8\). Om dit te controleren, controleer je of het volgende waar is:

(\begin{align}4x &= 8\ 4(2) &= 8 \8 &= 8 eind{align})

Dit is een ware bewering, dus ons antwoord is correct.

Voor elke vergelijking geldt dat elke bewerking die je aan de ene kant uitvoert, ook aan de andere kant moet worden uitgevoerd

Laten we nog een paar voorbeelden proberen voordat we verder gaan met complexere vergelijkingen.

Voorbeeld

Oplos op: \(3x=12)

Oplossing

Omdat \(x) met 3 vermenigvuldigd wordt, is het de bedoeling aan beide kanten door 3 te delen:

(\begin{align}3x &=12\ \dfrac{3x}{\color{red}{3}}

Check

Om ons antwoord te controleren, laten we \(x = 4) en substitueren dat terug in de vergelijking:

(begin3x &= 12×3(4) &= 12x &= 12x &= 12x &= 12x

Nadat dit een ware bewering is, weten we dat ons antwoord juist is.

In het volgende voorbeeld wordt de variabele niet met een waarde vermenigvuldigd, maar wordt een waarde van de variabele afgetrokken. Om dit “ongedaan” te maken, tellen we die waarde aan beide kanten op.

Voorbeeld

Oplos op: \(y-9=21)

Oplossing

Dit keer wordt 9 van y afgetrokken. Dus maken we dat ongedaan door 9 bij beide op te tellen.

(\begin-9&=21 y-9 \kleur{rood}{+9}&=21 kleur{rood}{+9}}y&=30 eind{align})

Nu gaan we kijken naar wat gewoonlijk “tweestapsvergelijkingen” worden genoemd. In deze vergelijkingen moeten we twee bewerkingen ongedaan maken om de variabele te isoleren.

Voorbeelden van tweestapsvergelijkingen

In elk van de bovenstaande voorbeelden moesten we een enkele stap uitvoeren voordat we ons antwoord hadden. In de volgende voorbeelden zie je hoe je kunt werken met vergelijkingen die uit twee stappen bestaan. Als er meer dan één bewerking is, is het belangrijk om de volgorde van de bewerkingen te onthouden, PEMDAS. Omdat je de bewerkingen aan x ongedaan maakt, werk je van “buiten naar binnen”. Dit is gemakkelijker te begrijpen als je het in een voorbeeld ziet.

Voorbeeld

Oplos:

Oplossing

Let op de twee bewerkingen die met \(x) gebeuren: het wordt vermenigvuldigd met 2 en dan wordt er 7 van afgetrokken. Die moeten we ongedaan maken. Maar alleen \(x\) wordt met 2 vermenigvuldigd, dus de eerste stap is 7 optellen bij beide kanten. Daarna kunnen we delen door 2.

Aan beide kanten 7 optellen:

(\begin{align} 2x-7 &= 13 \ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \kleur{rood}{+7} 2x&=20&=20&)

Deel nu beide zijden door 2: kun je je antwoord controleren door de waarde van x weer in de oorspronkelijke vergelijking te zetten. Zorg ervoor dat je elke stap begrijpt en dat je het probleem ook doorwerkt.

Voorbeeld

Oplos op: \(5w + 2 = 9)

Oplossing

Zoals hierboven zijn er twee bewerkingen: \(w) wordt vermenigvuldigd met 5 en er komt dan 2 bij. We zullen deze ongedaan maken door eerst van beide kanten 2 af te trekken en dan te delen door 5.

(\begin{align}5w + 2 &= 9 \5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2} 5w &= 7 \dfrac{5w}{\color{red}{5}} &=7w{7dfrac{7}{rood}{5}}}

De breuk rechts kan niet vereenvoudigd worden, dus dat is ons eindantwoord.

Check

Laat \(w = \dfrac{7}{5}). Dan:

(\begin{align}5w + 2 &= 9 \left(\dfrac{7}{5}rechts) + 2 &= 9 7 + 2 &= 9 \eind{align})

Dus, we hebben weer het goede antwoord!

Vereenvoudigen voor het oplossen

In de volgende voorbeelden zijn er meer variabele termen en moet er mogelijk wat vereenvoudigd worden. In elk geval zullen we eerst beide kanten vereenvoudigen en dan de variabele isoleren zoals we al deden. We zullen eerst een voorbeeld bekijken om te zien hoe dit alles in zijn werk gaat.

Om dit gedeelte te begrijpen, moet je vertrouwd zijn met het combineren van gelijke termen.

Voorbeeld

Oplos op:

Oplossing

Omdat beide kanten vereenvoudigd zijn (er zijn geen haakjes die we moeten uitzoeken en geen gelijksoortige termen om te combineren), is de volgende stap om alle x-en aan de ene kant van de vergelijking te krijgen en alle getallen aan de andere kant. Dezelfde regel geldt – wat je aan de ene kant van de vergelijking doet, moet je ook aan de andere kant doen!

Het is mogelijk om ofwel de 3x ofwel de 4x te verplaatsen. Stel dat u de 4x variabele verplaatst. Omdat die positief is, zou je dat doen door hem van beide kanten af te trekken:

3x+2 &=4x-1 3x+2kleur{rood}{-4x} &=4x-1:-x+2 & =-1:-eind{align})

Nu ziet de vergelijking eruit als de vergelijkingen die eerder zijn uitgewerkt. De volgende stap is om van beide kanten 2 af te trekken:

(\begin{align}-x+2 &= -1:-x=-3:-eind{align})

En ten slotte, omdat \(-x= -1x (dit is altijd waar), deelt u beide kanten door \(-1x):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=dfrac{-3}{\leuren{rood}{-1}}x&=3&=3&eind{align})

Check

U moet even de tijd nemen om te controleren of het volgende een ware bewering is:

(3(3)+ 2 = 4(3) – 1)

In het volgende voorbeeld moeten we de distributieve eigenschap gebruiken voordat we kunnen oplossen. Het is gemakkelijk om hier een fout te maken, dus zorg ervoor dat je het getal voor de haakjes verdeelt over alle termen binnen de haakjes.

Voorbeeld

Oplos op:

Oplossing

Verstrek eerst de 3 en -3, en verzamel gelijksoortige termen.

(begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\ 3x+6-1&=x-3x-3 \ 3x+5&=-2x-3&-eind{align})

Nu kunnen we aan beide kanten 2x optellen. (Onthoud dat je hetzelfde antwoord krijgt als je in plaats daarvan 3x van beide kanten had afgetrokken)

(begin{align} 3x+5 &=-2x-3vijf+5& =-3 eindvergelijking)

Van hieruit kunnen we oplossen zoals we ook met andere tweestapsvergelijkingen hebben gedaan.

(begin{align}5x+5vijfvijfkleur{rood}{-5})

Check

Dit was een moeilijke, dus vergeet niet om je antwoord te controleren en ervoor te zorgen dat er geen fout is gemaakt. Om dat te doen, moet je ervoor zorgen dat de volgende bewering waar is:

(3-links(-8dfrac{8}{5}+2-rechts)-1=links(-8dfrac{5}}rechts)-3-links(-8dfrac{5}+1}rechts)

(Let op: het werkt wel – maar je moet heel voorzichtig zijn met haakjes!

Eindig veel oplossingen en geen oplossingen

Er zijn momenten waarop je al deze stappen volgt en er een heel vreemde oplossing uitkomt. Bijvoorbeeld, als je de vergelijking x+2=x+2 oplost met de stappen hierboven, dan krijg je 0=0. Dit is zeker waar, maar wat heb je er aan?

Als je een verklaring als deze krijgt, betekent dit dat de vergelijking oneindig veel oplossingen heeft. Elke x die je kunt bedenken, voldoet aan de vergelijking x+2=x+2. Het juiste antwoord in dit geval is “oneindig veel oplossingen”.

De andere situatie doet zich voor als je een vergelijking vereenvoudigt tot een bewering die nooit waar is, zoals bijvoorbeeld vergelijking(3=4) of vergelijking(0=1). Dit gebeurt met de vergelijking \(x+5=x-7) die zal leiden tot \(5= -7), iets dat zeker nooit waar is. Dit betekent dat geen enkele \(x) aan deze vergelijking zou voldoen. Met andere woorden “geen oplossing”. Samengevat:

• Als je een stelling krijgt die altijd waar is zoals \(5 = 5) of \(0 = 0), dan zijn er oneindig veel oplossingen.
• Als je een stelling krijgt die altijd onwaar is zoals \(10 = 11) of \(1 = 5), dan zijn er geen oplossingen.

Samenvatting

Bij het oplossen van lineaire vergelijkingen gaat het erom dat je de variabele isoleert. Afhankelijk van de vergelijking kan dit in slechts één stap of in veel meer stappen. Kijk altijd eerst of je een of beide kanten van de vergelijking moet vereenvoudigen, en controleer altijd je antwoord.

Abonneer je op onze nieuwsbrief!

We plaatsen altijd nieuwe gratis lessen en voegen meer studiegidsen, rekenmachinegidsen en probleempakketten toe.

Schrijf u in om af en toe een e-mail te ontvangen (om de paar of drie weken) om u te laten weten wat er nieuw is!