MacTutor

Biografie

Deze biografie gaat over Argand, de man wiens naam bij vrijwel iedereen die wiskunde heeft gestudeerd bekend is door het “Argand-diagram” voor complexe getallen. Laat ons meteen aan het begin van deze biografie stellen dat de voornamen “Jean Robert” en de data van zijn geboorte en overlijden zoals hierboven vermeld waarschijnlijk niet juist zijn. Zij verwijzen naar een echte persoon, maar het is onwaarschijnlijk dat deze persoon de auteur is van het “diagram van Argand”. De volgende informatie over Jean Robert Argand is, waarschijnlijk ten onrechte, een standaard onderdeel geworden van de biografie van de man die het “diagram van Argand” heeft uitgevonden.
Jean-Robert Argand was een boekhouder en boekhouder in Parijs die slechts een amateur-wiskundige was. Er is weinig bekend over zijn achtergrond en opleiding. Wel weten we dat zijn vader Jacques Argand was en zijn moeder Eves Canac. Naast zijn geboortedatum is ook de datum bekend waarop hij werd gedoopt – 22 juli 1768. Onder de weinige andere feiten die bekend zijn van zijn leven is een beetje informatie over zijn kinderen. Zijn zoon werd in Parijs geboren en is daar blijven wonen, terwijl zijn dochter, Jeanne-Françoise-Dorothée- Marie-Elizabeth Argand, trouwde met Félix Bousquet en zij woonden in Stuttgart.
Als het onwaarschijnlijk is dat deze informatie waar is, is het misschien nuttig om op dit punt te begrijpen waar ze vandaan komt. Jules Hoüel publiceerde een vierdelig werk getiteld Théorie Élémentaire des Quantités Complexes Ⓣ. Vooraleer Hoüel deel 4 publiceerde in 1874 besloot hij te proberen biografische informatie over Argand te vinden. Hij wist dat Ami Argand (1750-1803), die instrumenten had uitgevonden en een tijdlang in Parijs had gewoond, in Genève was geboren. Dit moet Hoüel hebben doen vermoeden dat de uitvinder van het Argand-diagram misschien in Genève was geboren en dus vroeg hij zijn collega’s in Genève of zij biografische gegevens over Argand konden vinden. De gegevens over Jean-Robert Argand die wij hierboven hebben gepresenteerd, zijn het resultaat van Hoüels verzoek, hoewel degenen die de informatie verstrekten, hadden betwijfeld of zij de juiste Argand hadden gevonden. Ondanks de twijfels werden deze gegevens als vaststaand beschouwd tot eind jaren negentig, toen het onderzoek van Gert Schubring resulteerde in zijn bewering dat :-

… deze weinige bekende gegevens twijfelachtig lijken.

Schubring’s argument is vooral gebaseerd op het feit dat er in wezen geen bewijs is dat de standaardbiografie van Argand correct zou kunnen zijn. Hij heeft ook een paar argumenten die suggereren dat deze ‘standaardbiografie’ onjuist is. Een daarvan is dat Legendre, die Argand schijnt te hebben ontmoet, hem beschrijft als een ‘jonge man’. Als Argand Jean Robert Argand was, dan was hij 38 jaar oud toen hij Legendre ontmoette en is het onwaarschijnlijk dat hij deze beschrijving verdient. Wat er ook op wijst dat Argand niet Jean Robert Argand is, is dat Jean Robert Argand accountant en boekhouder is, terwijl Argand uit zijn geschriften blijkt dat hij waarschijnlijk een deskundig technicus in de klokkenindustrie is.

Argand is beroemd om zijn meetkundige interpretatie van de complexe getallen waarbij iii wordt geïnterpreteerd als een rotatie door 90°. Het concept van de modulus van een complex getal is ook aan Argand te danken, maar Cauchy, die de term later gebruikte, wordt gewoonlijk gecrediteerd als de bedenker van dit concept. Het diagram van Argand wordt aan de meeste wiskundeleerlingen onderwezen en de naam van Argand zal door dit belangrijke concept voortleven in de geschiedenis van de wiskunde. Dat zijn naam verbonden is met deze meetkundige interpretatie van complexe getallen is echter slechts het gevolg van een nogal vreemde opeenvolging van gebeurtenissen.
De eerste die deze meetkundige interpretatie van complexe getallen publiceerde was Caspar Wessel. Het idee komt voor in het werk van Wessel in 1787, maar het werd pas gepubliceerd toen Wessel een verhandeling indiende op een vergadering van de Koninklijke Deense Academie van Wetenschappen op 10 maart 1797. Het artikel werd gepubliceerd in 1799 maar niet opgemerkt door de wiskundige gemeenschap. Wessel’s artikel werd herontdekt in 1895 toen Christian Juel er de aandacht op vestigde en, in hetzelfde jaar, Sophus Lie Wessel’s artikel heruitgaf.
Dit is niet zo verrassend als het op het eerste gezicht lijkt, aangezien Wessel een landmeter was. Argand was echter ook geen professionele wiskundige, dus toen hij zijn meetkundige interpretatie van complexe getallen in 1806 produceerde, was dat in een memoires die hij misschien privé op eigen kosten publiceerde, maar in feite is er geen bewijs dat het gepubliceerd werd. Het enige dat zeker is, is de verklaring van Argand zelf dat hij tussen 1806 en 1813 een zeer klein aantal exemplaren in eigen beheer heeft verspreid. Of het nu gepubliceerd is of niet, doet er niet toe, want aangezien er geen bewijs van publicatie bewaard is gebleven, zou men verwachten dat het minder zou opvallen dan het werk van Wessel, dat tenslotte door de Koninklijke Deense Academie werd gepubliceerd. Misschien nog verrassender was dat Argands naam niet eens op de memorie voorkwam, zodat het onmogelijk was de auteur te identificeren.
De manier waarop het werk van Argand bekend werd, is nogal ingewikkeld. Legendre ontving een kopie van het werk, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques Ⓣ van Argand en hij stuurde het op 2 november 1806 naar François Français, hoewel geen van beiden de identiteit van de auteur kende. Legendre schreef in deze brief:-

Er zijn mensen die met groot succes de wetenschap beoefenen zonder bekend te zijn en zonder op zoek te zijn naar roem. Onlangs zag ik een jongeman die mij vroeg een werk te lezen dat hij had gemaakt over imaginaire getallen; hij legde mij zijn doel niet erg goed uit, maar hij maakte mij duidelijk dat hij de zogenaamde imaginaire grootheden even reëel achtte als de andere, en ze voorstelde door lijnen. Aanvankelijk toonde ik de auteur mijn grote twijfel, maar ik beloofde hem zijn memoires te lezen. Ik vond, in tegenstelling tot mijn verwachting, zeer originele ideeën, zeer goed voorgesteld, ondersteund door een tamelijk grondige kennis van berekening, en tenslotte die leiden tot zeer exacte consequenties, zoals de meeste formules van goniometrie, de stelling van Cotes, enz. Hier is een schets van dit werk dat u misschien interesseert en dat u zal toelaten de rest te beoordelen. … Ik geef hier slechts een klein deel van zijn ideeën, maar u zult het goedmaken, en misschien zult u, net als ik, vinden dat ze origineel genoeg zijn om de aandacht te verdienen. Voor het overige laat ik u slechts als een voorwerp van nieuwsgierigheid en ik zal mij niet verdedigen.

Na de dood van François Français in 1810 werkte zijn broer Jacques Français aan zijn papieren en hij ontdekte daartussen de kleine memoires van Argand. In september 1813 publiceerde Jacques Français de paper Nouveaux principes de Géométrie de position, et interprétation des symboles imaginaires Ⓣ waarin hij een meetkundige voorstelling gaf van complexe getallen, met interessante toepassingen, gebaseerd op de ideeën van Argand. Jacques Français had deze ideeën gemakkelijk voor zichzelf kunnen opeisen, maar hij deed net het omgekeerde. Hij eindigde zijn artikel met te zeggen dat het idee gebaseerd was op het werk van een onbekende wiskundige en hij vroeg dat de wiskundige zich bekend zou maken, zodat hij het krediet voor zijn ideeën zou ontvangen:-

Ik moet … uit rechtvaardigheid verklaren dat de inhoud van deze nieuwe ideeën mij niet toebehoort. Ik heb ze gevonden in een brief van M. Legendre aan wijlen mijn broer François Joseph Français, 1768-1810, waarin deze grote wiskundige hem (als iets dat hem is meegedeeld, en als een voorwerp van pure nieuwsgierigheid) deelgenoot maakt van de inhoud van mijn 2e en 3e definities, van mijn 1e stelling, en van het 3e corollarium van mijn 2e stelling . Ik hoop dat de publiciteit die ik geef aan de resultaten die ik heb bereikt, ertoe kan leiden dat de eerste auteur van deze ideeën bekend wordt, en dat het werk dat hij zelf over dit onderwerp heeft verricht, aan het licht komt.

Het artikel van Jacques Français verscheen in het tijdschrift Annales de mathématiques van Gergonne en Argand reageerde op het verzoek van Jacques Français door te erkennen dat hij de auteur was en door een enigszins gewijzigde versie van zijn oorspronkelijke werk Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques Ⓣ, met enkele nieuwe toepassingen, in te dienen bij de Annales de mathématiques. Er gaat niets boven een argument om iets onder de aandacht van de wereld te brengen en dit is precies wat er vervolgens gebeurde. Een heftige discussie tussen Jacques Français, Argand en Servois vond plaats in de bladzijden van Gergonne’s Journal. In deze briefwisseling pleitten Jacques Français en Argand voor de geldigheid van de meetkundige voorstelling, terwijl Servois betoogde dat complexe getallen behandeld moesten worden met zuivere algebra.
Men zou kunnen verwachten dat Argand geen andere bijdragen aan de wiskunde zou hebben geleverd. Dit is echter niet het geval en, hoewel hij altijd herinnerd zal worden voor het diagram van Argand, is zijn beste werk de fundamentele stelling van de algebra en hiervoor heeft hij weinig eer gekregen. Hij gaf een prachtig bewijs (met kleine hiaten) van de fundamentele stelling van de algebra in zijn werk van 1806, en opnieuw toen hij zijn resultaten publiceerde in Gergonne’s Journal in 1813. Argand was zeker de eerste om de stelling te stellen in het geval dat de coëfficiënten complexe getallen zijn. Petrova, in , bespreekt de vroege bewijzen van de fundamentele stelling en merkt op dat Argand een bijna moderne vorm van het bewijs gaf dat na de tweede publicatie in 1813 in de vergetelheid raakte.
Na 1813 kreeg Argand meer bekendheid in de wiskundige wereld. Hij publiceerde nog acht artikelen, alle in Gergonne’s Journal, tussen 1813 en 1816. De meeste van deze artikelen zijn gebaseerd op zijn oorspronkelijke memoires, of geven commentaar op artikelen die door andere wiskundigen zijn gepubliceerd. Zijn laatste publicatie ging over combinaties, waarbij hij de notatie (m,n)(m, n)(m,n) gebruikte voor de combinaties van nnn objecten geselecteerd uit mmm objecten.
In Jones wordt Argand’s werk als volgt samengevat:-

Argand was een man met een onbekende achtergrond, een niet-wiskundig beroep, en een onzeker contact met de literatuur van zijn tijd, die intuïtief een kritisch idee ontwikkelde waarvoor de tijd rijp was. Hij exploiteerde het zelf. De kwaliteit en de betekenis van zijn werk werden erkend door sommige genieën van zijn tijd, maar communicatiestoornissen en de ongeveer gelijktijdigheid van soortgelijke ontwikkelingen door andere werkers dwingen een historicus ertoe hem de volle eer te ontzeggen voor de vruchten van het concept waaraan hij werkte.

In Gert Schubring wordt getracht een reconstructie te geven van Argands pogingen om Legendre te interesseren voor zijn geometrische interpretatie:-

In de herfst van 1806 werd Legendre benaderd door Argand, die hem in een rechtstreeks gesprek de minoresultaten van zijn manuscript trachtte te schetsen. Legendre antwoordde met scepsis over de methode en de toepassingen ervan. Bij zijn vertrek drong Argand er bij Legendre op aan zijn manuscript te lezen. Legendre had de naam van deze man niet onthouden en veronderstelde dat het manuscript de naam van de auteur zou vermelden. Toen Argand weg was, realiseerde Legendre zich dat het papier noch het adres, noch de naam van de auteur vermeldde. Bij het lezen van de “Éssai” merkte Legendre de kwaliteit ervan op, hij wachtte op een volgend bezoek van de auteur, maar deze verscheen niet meer. Om een einde te maken aan zijn eigen bemoeienis met deze opvattingen schreef hij het verslag aan François Français in de brief van 2 november 1806. Omdat Legendre met klem verzocht niet te worden lastig gevallen met discussies over dit geschrift, durfde noch de oudere, noch later de jongere François het aan hem vragen te stellen over het geschrift en de auteur ervan. Anderzijds zag Argand – blijkbaar een verlegen man – ervan af zijn werkstuk te publiceren, wegens Legendres ongeïnteresseerde en sceptische reactie. Alleen de tamelijk indirecte ontvangst van zijn ideeën via de “fraters français” bracht Argand ertoe een latere druk te organiseren, waarbij hij de datum van samenstelling op de titelpagina liet zetten.

Argand moet in 1806 in Parijs zijn geweest toen hij Legendre ontmoette en hij was zeker in Parijs in 1813, want hij geeft een adres in Parijs op zijn in dat jaar gepubliceerde geschrift.
We moeten nog een laatste noot toevoegen aan deze, noodzakelijkerwijs nogal onbevredigende, biografie van Argand. Zijn brieven en gepubliceerde werken verschijnen allemaal onder de naam Argand, zonder andere namen. Dit lijkt ons meer een non-de-plume dan de eigenlijke naam van de auteur. Als dit waar is, zou dit natuurlijk betekenen dat elke poging om Argand in de toekomst te identificeren nog moeilijker (waarschijnlijk onmogelijk) zou worden gemaakt.