Is 1+2+3… Echt Gelijk aan -1/12?

Een eerder deze maand geplaatste Numberphile video beweert dat de som van alle positieve gehele getallen -1/12 is.

Ik ben meestal een fan van de Numberphile crew, die goed werk doen door wiskunde spannend en toegankelijk te maken, maar deze video stelde me teleur. Er is een zinvolle manier om het getal -1/12 te associëren met de reeks 1+2+3+4…, maar naar mijn mening is het misleidend om het de som van de reeksen te noemen. Bovendien draagt de manier waarop het wordt gepresenteerd bij tot een misvatting die ik als wiskundeleraar vaak tegenkom, namelijk dat wiskundigen de regels willekeurig veranderen zonder duidelijke reden, en dat leerlingen geen hoop hebben om te weten wat wel en niet is toegestaan in een bepaalde situatie. In een bericht over deze video zegt de natuurkundige Dr. Skyskull: “een deprimerend groot deel van de bevolking gaat er automatisch van uit dat wiskunde een soort niet-intuïtieve, bizarre tovenarij is die alleen de superintelligenten kunnen doorgronden. Het tonen van zo’n krankzinnig resultaat zonder enige kwalificatie versterkt dat beeld alleen maar, en bewijst naar mijn mening de wiskunde een slechte dienst.”

Toevoeging is een binaire bewerking. Je stopt er twee getallen in, en je krijgt er één getal uit. Maar je kunt het uitbreiden naar meer getallen. Als je bijvoorbeeld drie getallen hebt die je bij elkaar wilt optellen, kun je er eerst twee bij elkaar optellen en dan het derde getal bij de som optellen. We kunnen dit blijven doen voor een eindig aantal optelwoorden (en de wetten van de rekenkunde zeggen dat we hetzelfde antwoord krijgen ongeacht de volgorde waarin we ze optellen), maar als we proberen een oneindig aantal termen bij elkaar op te tellen, moeten we een keuze maken over wat optellen betekent. De meest gebruikelijke manier om met oneindige optelling om te gaan is door het begrip limiet te gebruiken.

Ruwweg zeggen we dat de som van een oneindige reeks een getal L is als we, als we steeds meer termen toevoegen, steeds dichter bij het getal L komen. Als L eindig is, noemen we de reeks convergent. Een voorbeeld van een convergente reeks is 1/2+1/4+1/8+1/16…. Deze reeks convergeert naar het getal 1. Het is vrij eenvoudig te zien waarom: na de eerste term zijn we halverwege de 1. Na de tweede term zijn we op de helft van de resterende afstand tot 1, enzovoort.

Zeno’s paradox zegt dat we nooit echt bij 1 zullen komen, maar vanuit een limietstandpunt kunnen we er zo dicht bij komen als we willen. Dat is de definitie van “som” die wiskundigen meestal bedoelen als ze het over oneindige reeksen hebben, en het komt in principe overeen met onze intuïtieve definitie van de woorden “som” en “gelijk.”

Maar niet elke reeks is convergent in deze zin (niet-convergente reeksen noemen we divergent). Sommige, zoals 1-1+1-1…, kunnen tussen verschillende waarden schommelen als we steeds meer termen toevoegen, en sommige, zoals 1+2+3+4… kunnen willekeurig groot worden. Het is dus vrij duidelijk dat de som 1+2+3… niet convergeert als we de limietdefinitie van convergentie voor een reeks gebruiken. Als ik zou zeggen: “Ik denk dat de limiet van deze reeks een eindig getal L is,” dan zou ik gemakkelijk kunnen uitrekenen hoeveel termen ik moet toevoegen om zo ver boven het getal L te komen als ik wil.

Er zijn zinvolle manieren om het getal -1/12 te associëren met de reeks 1+2+3…, maar ik noem -1/12 liever niet de “som” van de positieve gehele getallen. Een manier om het probleem aan te pakken is met het idee van analytische voortzetting in de complexe analyse.

Zeg dat je een functie f(z) hebt die ergens in het complexe vlak gedefinieerd is. We noemen het domein waar de functie gedefinieerd is U. Je zou een manier kunnen vinden om een andere functie F(z) te construeren die gedefinieerd is in een groter gebied zodanig dat f(z)=F(z) telkens als z in U ligt. Dus de nieuwe functie F(z) is in overeenstemming met de oorspronkelijke functie f(z) overal waar f(z) gedefinieerd is, en ze is gedefinieerd in sommige punten buiten het domein van f(z). De functie F(z) wordt de analytische voortzetting van f(z) genoemd. (“De” is het juiste lidwoord om te gebruiken omdat de analytische voortzetting van een functie uniek is.)

Analytische voortzetting is nuttig omdat complexe functies vaak gedefinieerd zijn als oneindige reeksen met de variabele z. De meeste oneindige reeksen convergeren echter slechts voor enkele waarden van z, en het zou mooi zijn als we functies op meer plaatsen gedefinieerd zouden kunnen krijgen. De analytische voortzetting van een functie kan waarden voor een functie definiëren buiten het gebied waar de definitie van de oneindige reeks convergeert. We kunnen zeggen dat 1+2+3…=-1/12 door de analytische voortzetting van een functie aan te passen aan zijn oorspronkelijke definitie van oneindige reeksen, een actie die gepaard zou moeten gaan met een knipoog in Lucille Bluth-stijl.

De functie in kwestie is de zeta-functie van Riemann, die beroemd is om zijn diepe verbanden met vragen over de verdeling van priemgetallen. Wanneer het reële deel van s groter is dan 1, is de Riemann zeta-functie ζ(s) gedefinieerd als Σ∞n=1n-s. (Gewoonlijk gebruiken we de letter z voor de variabele in een complexe functie. In dit geval gebruiken we s uit eerbied voor Riemann, die de zeta-functie definieerde in een artikel uit 1859). Deze oneindige reeks convergeert niet als s=-1, maar je ziet dat als we s=-1 gebruiken, we 1+2+3 krijgen…. De Riemann zeta functie is de analytische voortzetting van deze functie naar het gehele complexe vlak minus het punt s=1. Als s=-1 is ζ(s)=-1/12. Door een gelijkteken te plakken tussen ζ(-1) en de formele oneindige reeks die de functie in enkele andere delen van het complexe vlak definieert, krijgen we de uitspraak dat 1+2+3…=-1/12.

Analytische voortzetting is niet de enige manier om het getal -1/12 te associëren met de reeks 1+2+3…. Voor een zeer goede, diepgaande uitleg van een manier die geen complexe analyse vereist – compleet met huiswerkoefeningen – bekijk je Terry Tao’s post over dit onderwerp.

De video van Numberphile stoorde me omdat ze de mogelijkheid hadden om te praten over wat het betekent om een waarde toe te kennen aan een oneindige reeks en verschillende manieren uit te leggen om dit te doen. Als je al een beetje over het onderwerp weet, kun je de video en een langere verwante video over het onderwerp bekijken en flarden opvangen van wat er echt aan de hand is. Maar de “wow”-factor van de video komt van het feit dat het geen zin heeft om een stel positieve getallen bij elkaar op te tellen tot een negatief getal als het publiek aanneemt dat “som” betekent wat zij denken dat het betekent.

Als de Numberphiles explicieter waren geweest over alternatieve manieren om getallen aan reeksen te koppelen, hadden ze meer kunnen doen dan alleen mensen laten denken dat wiskundigen altijd de regels veranderen. Aan het einde van de video vraagt producent Brady Haran aan natuurkundige Tony Padilla of je, als je op je rekenmachine hele getallen blijft optellen en op het einde op de knop “equal” drukt, -1/12 zou krijgen. Padilla zegt brutaal: “Je moet tot oneindig gaan, Brady!” Maar het antwoord had moeten zijn: “Nee!” Hier denk ik dat ze een kans hebben gemist om duidelijk te maken dat ze een alternatieve manier gebruiken om een waarde toe te kennen aan een oneindige reeks, die de video veel minder misleidend zou hebben gemaakt.

Anderen hebben goede dingen geschreven over de wiskunde in deze video. Na een al te goedgelovige blogpost op Slate heeft Phil Plait een veel nuchterder uitleg geschreven over de verschillende manieren om een waarde aan een reeks toe te kennen. Als je de details van het “bewijs” zelf wilt doornemen, kun je terecht bij John Baez. Blake Stacey en Dr. Skyskull schrijven hoe het substitueren van het getal -1/12 voor de som van de positieve gehele getallen nuttig kan zijn in de natuurkunde. Richard Elwes plaatst een “gezondheids- en veiligheidswaarschuwing” voor oneindige reeksen met betrekking tot mijn oude favoriet, de harmonische reeks. Ik denk dat de wildgroei van discussie over wat deze oneindige reeks betekent goed is, hoewel ik wou dat meer van die discussie had kunnen zitten in de video, die tot nu toe meer dan een miljoen views op YouTube heeft!