Gompertz-functie

Gompertz-curveEdit

Populatiebiologie houdt zich vooral bezig met de Gompertz-functie. Deze functie is vooral nuttig om de snelle groei van een bepaalde populatie organismen te beschrijven en tegelijkertijd rekening te kunnen houden met de uiteindelijke horizontale asymptoot, zodra de draagkracht is bepaald (plateau cel/populatieaantal).

Het wordt als volgt gemodelleerd:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

waar:

• t is tijd
• N0 is de initiële hoeveelheid cellen
• NI is het plateau cel/bevolkingsaantal
• b is de initiële snelheid van tumorgroei

Deze functie inachtneming van het plateau celnummer maakt het nuttig in nauwkeurig nabootsen real-life populatiedynamiek. De functie houdt zich ook aan de sigmoïde functie, die de meest algemeen aanvaarde conventie is om de groei van een bevolking in het algemeen te beschrijven. Bovendien maakt de functie gebruik van de initiële groeisnelheid, die vaak wordt aangetroffen in populaties van bacteriële en kankercellen, die de log-fase doormaken en snel in aantal toenemen. Ondanks zijn populariteit is de functie initiële groeisnelheid van tumoren moeilijk vooraf te bepalen gezien de variërende microkosmos die bij een patiënt aanwezig is, of variërende omgevingsfactoren in het geval van populatiebiologie. Bij kankerpatiënten spelen factoren als leeftijd, dieet, etniciteit, genetische aanleg, metabolisme, levensstijl en oorsprong van de metastase een rol bij het bepalen van de groeisnelheid van de tumor. De draagkracht zal naar verwachting ook veranderen op basis van deze factoren, en dus is het beschrijven van dergelijke verschijnselen moeilijk.

Metabolische curveEdit

De metabole functie houdt zich met name bezig met het weergeven van de snelheid van het metabolisme binnen een organisme. Deze functie kan worden toegepast om tumorcellen te volgen; de stofwisselingssnelheid is dynamisch en is zeer flexibel, waardoor zij nauwkeuriger is bij het in kaart brengen van de groei van kanker. De metabole curve houdt rekening met de energie die het lichaam levert om weefsel in stand te houden en aan te maken. Deze energie kan worden beschouwd als metabolisme en volgt een specifiek patroon bij de celdeling. Het behoud van energie kan worden gebruikt om een dergelijke groei te modelleren, ongeacht de verschillende massa’s en ontwikkelingstijden. Alle taxa hebben een soortgelijk groeipatroon en dit model beschouwt de celdeling als de basis van de ontwikkeling van een tumor.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {Displaystyle B=(N_{C}B_{C})+(E_{C}{operatornaam {d} \!N_{C} \over \operatornaam {d} \!t} rechts)}.

• B = energie die het organisme in rust gebruikt
• NC = aantal cellen in het gegeven organisme
• BC= stofwisselingssnelheid van een individuele cel
• NCBC= energie die nodig is om het bestaande weefsel
• EC= energie die nodig is om uit een individuele cel nieuw weefsel te vormen

Door het onderscheid tussen energie die in rust wordt gebruikt en de stofwisselingssnelheid bij arbeid kan het model de groeisnelheid nauwkeuriger bepalen. De energie in rust is lager dan de energie die wordt gebruikt om een weefsel in stand te houden, en samen vertegenwoordigen zij de energie die nodig is om het bestaande weefsel in stand te houden. Het gebruik van deze twee factoren, naast de energie die nodig is om nieuw weefsel aan te maken, brengt de groeisnelheid volledig in kaart, en leidt bovendien tot een nauwkeurige weergave van de vertragingsfase.

Groei van tumorenEdit

In de jaren zestig gebruikte A.K. Laird voor het eerst met succes de Gompertz-curve om gegevens over de groei van tumoren te passen. In feite zijn tumoren celpopulaties die groeien in een besloten ruimte waar de beschikbaarheid van voedingsstoffen beperkt is. Als we de grootte van de tumor aanduiden met X(t), is het nuttig de Gompertz-curve als volgt te schrijven:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) {X(t)=Kexp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}}rechts)\exp \left(-alpha t}rechts)}

waar:

• X(0) is de tumorgrootte op de begintijd van de waarneming;
• K is de draagkracht, d.w.z.d.w.z. de maximale grootte die kan worden bereikt met de beschikbare voedingsstoffen. In feite is dit:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{trightarrow + ∞ X(t)=K}

  

onafhankelijk van X(0)>0. Merk op dat, bij afwezigheid van therapieën etc.. gewoonlijk X(0)<K is, terwijl dit bij aanwezigheid van therapieën X(0)>K kan zijn;

• α is een constante die betrekking heeft op het proliferatievermogen van de cellen.
• log() verwijst naar de natuurlijke log.

Er kan worden aangetoond dat de dynamiek van X(t) wordt beheerst door de Gompertz-differentiaalvergelijking:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {Displaystyle X^{{prime }(t)=alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}right)X(t)}

i.e. heeft bij uitsplitsing de vorm:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , met F ′ ( X ) ≤ 0 , {Displaystyle X^{prime }(t)=F links(X(t)\rechts)X(t),\quad {\mbox{met}} F^{prime }(X)\leq 0,

F(X) is de ogenblikkelijke proliferatiesnelheid van de celpopulatie, waarvan het afnemende karakter te wijten is aan de concurrentie om de voedingsstoffen ten gevolge van de toename van de celpopulatie, net als bij de logistische groeisnelheid. Er is echter een fundamenteel verschil: in het logistische geval is de proliferatiesnelheid voor kleine cellulaire populaties eindig:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {Displaystyle F(X)=(1-)-alpha({{X}{K}}}rechts)^{\nu}rechts)-rechts F(0)=(1-)-alpha <+infty }

waarbij in het geval van Gompertz de proliferatiesnelheid onbegrensd is:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{Xrightarrow 0^{+}F(X)=lim _{Xrightarrow 0^{+}alpha \log \left({\frac {K}{X}}right)=+ ∞ {\displaystyle \lim _{Xrightarrow 0^{+}F(X ) =+ ∞}

Zoals door Steel en Wheldon is opgemerkt, is de proliferatiesnelheid van de celpopulatie uiteindelijk begrensd door de celdelingstijd. Dit zou er dus op kunnen wijzen dat de Gompertz-vergelijking niet goed is om de groei van kleine tumoren te modelleren. Bovendien heeft men meer recent opgemerkt dat, met inbegrip van de interactie met het immuunsysteem, Gompertz en andere wetten gekenmerkt door onbegrensde F(0) de mogelijkheid van immuunbewaking zouden uitsluiten.

De theoretische studie van Fornalski et al. toonde de biofysische basis van de Gompertz-curve voor de groei van kanker aan, behalve voor de zeer vroege fase, waarin de parabolische functie meer geschikt is. Zij vonden ook dat de Gompertz-curve het meest typische geval beschrijft onder de brede familie van de kankerdynamische functies.

Gompertz-groei en logistische groeiEdit

De Gompertz-differentiaalvergelijking

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {Displaystyle X^{{prime }(t)=alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}right)X(t)}

is het beperkende geval van de veralgemeende logistische differentiaalvergelijking

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {Displaystyle X^{\prime }(t)=alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}}rechts)^{\frac {1}{\nu }}rechts)X(t)}

(waarbij ν > 0 {\nu >0}

een positief reëel getal is) omdat

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }

.

Daarnaast, is er een buigpunt in de grafiek van de gegeneraliseerde logistische functie wanneer

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu +1}}}\right)^{\nu }K}

en men in de grafiek van de Gompertz-functie wanneer

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {Displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=Klim _{\nu \rightarrow +\infty }}left({\frac {\nu }{\nu +1}}}rechts)^{\nu }}

.

Modellering COVID-19 infectietrajectEdit

Gegeneraliseerde logistische functie (Richards groeicurve) in epidemiologische modellering

Een gegeneraliseerde logistische functie, ook wel de Richards groeicurve genoemd, wordt veel gebruikt bij het modelleren van COVID-19 infectietrajecten. Een infectietraject is een dagelijkse tijdreeks van het cumulatieve aantal geïnfecteerde gevallen voor een bepaald onderwerp, zoals een land, stad, staat, enz. In de literatuur bestaan verschillende herparameterisaties: een van de vaak gebruikte vormen is

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{^{1/\xi }}}}

waarbij θ 1 , θ 2 , θ 3 {\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}

zijn reële getallen, en ξ {\displaystyle \xi }

is een positief reëel getal. De buigzaamheid van de kromme f {Displaystyle f}

is het gevolg van de parameter ξ {\displaystyle \xi }

: (i) als ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

dan herleidt de kromme tot de logistische functie, en (ii) als ξ {{\displaystyle \xi }

convergeert naar nul, dan convergeert de kromme naar de Gompertz-functie. In epidemiologische modellering convergeert θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, en θ 3 {{displaystyle \theta _{3}}

staan respectievelijk voor de uiteindelijke omvang van de epidemie, de besmettingsgraad en de vertragingsfase. Zie het rechterpaneel voor een voorbeeld van een infectietraject wanneer ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {{\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

worden aangeduid door ( 10 , 000 , 0,2 , 40 ) {Displaystyle (10,000,0,2,40)}

.

Geëxtrapoleerde infectietrajecten van 40 landen die ernstig zijn getroffen door COVID-19 en het grote (bevolkings)gemiddelde tot en met 14 mei

Een van de voordelen van het gebruik van groeifuncties zoals de gegeneraliseerde logistische functie in epidemiologische modellen is de relatief gemakkelijke uitbreiding naar het raamwerk van multilevelmodellen door de groeifunctie te gebruiken om infectietrajecten van meerdere subjecten (landen, steden, staten, enz.) te beschrijven, steden, staten, enz.). Zie de bovenstaande figuur. Een dergelijk modelleringskader kan ook algemeen het niet-lineaire mixed-effects model of het hiërarchische niet-lineaire model worden genoemd.

Gomp-ex wet van de groeiEdit

Op basis van bovenstaande overwegingen heeft Wheldon een wiskundig model van tumorgroei voorgesteld, het Gomp-Ex model genaamd, dat de Gompertz-wet enigszins wijzigt. In het Gomp-Ex model wordt aangenomen dat er aanvankelijk geen concurrentie is voor hulpbronnen, zodat de celpopulatie zich uitbreidt volgens de exponentiële wet. Er is echter een kritische drempel voor de grootte X C {\displaystyle X_{C}}

zodat voor X > X C {\displaystyle X>X_{C}}

. De veronderstelling dat er geen concurrentie is om hulpbronnen gaat in de meeste scenario’s op. Zij kan echter worden beïnvloed door beperkende factoren, hetgeen de creatie van variabelen voor subfactoren vereist.

de groei volgt de wet van Gompertz:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {

zodat:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=Kexp \left(-{\frac {a}{\alpha }}right).}

Hier zijn enkele numerieke schattingen voor X C {\displaystyle X_{C}}