Equilibratiepunt

Het punt x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {{mathbf {x}} }} in \mathbb {R} ^{n}}

is een evenwichtspunt voor de differentiaalvergelijking d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x}} }{dt}}= {\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

if f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\mathbf {x}})=\mathbf {0} }

voor alle t {\displaystyle t}

.

Zo kan ook het punt x ~ ∈ R n {\tilde {\mathbf {x}} }} in \mathbb {R} ^{n}}

is een evenwichtspunt (of vast punt) voor de verschilvergelijking x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\mathbf {x}})={\mathbf {x}} }}}

voor k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Equilibria kunnen worden geclassificeerd door te kijken naar de tekens van de eigenwaarden van de linearisatie van de vergelijkingen over de evenwichten. Dat wil zeggen, door de Jacobiaanse matrix in elk van de evenwichtspunten van het systeem te evalueren en vervolgens de resulterende eigenwaarden te vinden, kunnen de evenwichten worden gecategoriseerd. Dan kan het gedrag van het systeem in de buurt van elk evenwichtspunt kwalitatief worden bepaald, (of zelfs kwantitatief bepaald, in sommige gevallen), door de eigenvector(en) te vinden die bij elke eigenwaarde hoort (horen).

Een evenwichtspunt is hyperbolisch als geen van de eigenwaarden een reëel deel nul heeft. Als alle eigenwaarden een negatief reëel deel hebben, is het evenwichtspunt een stabiele vergelijking. Indien ten minste één eigenwaarde een positief reëel deel heeft, is het evenwichtspunt een onstabiel knooppunt. Indien ten minste één eigenwaarde een negatief reëel deel heeft en ten minste één een positief reëel deel heeft, is het evenwicht een zadelpunt.