Complexiteitsanalyse van een Cournot-Bertrand Duopolyspelmodel met beperkte informatie
On november 23, 2021 by adminAbstract
Een Cournot-Bertrand gemengd duopolyspelmodel met beperkte informatie over de markt en de tegenstander wordt beschouwd, waarbij de markt een lineaire vraag heeft en twee bedrijven dezelfde vaste marginale kosten hebben. De besluitvormingsprincipes zijn begrensd rationeel. De ene onderneming kiest de productie en de andere de prijs als beslissingsvariabele, waarbij wordt aangenomen dat er een zekere mate van differentiatie is tussen de door de ondernemingen aangeboden producten om te voorkomen dat de gehele markt wordt bezet door de onderneming die een lagere prijs hanteert. Het bestaan van een Nash-evenwichtspunt en de lokale stabiliteit van het spel worden onderzocht. De complexe dynamiek, zoals bifurcatiescenario’s en de weg naar chaos, wordt aan de hand van parameterbekkenplots numeriek experimenteel weergegeven. De invloeden van de parameters op de systeemprestaties worden besproken vanuit het perspectief van de economie.
1. Inleiding
Een oligopolie is een marktstructuur tussen monopolie en volmaakte mededinging in, waarbij de markt volledig wordt beheerst door slechts een klein aantal firma’s die dezelfde of homogene produkten vervaardigen. Indien er twee firma’s zijn, spreekt men van een duopolie, terwijl er bij drie concurrenten sprake is van een triopolie.
Cournot oligopolie en Bertrand oligopolie zijn de twee meest opmerkelijke modellen in de oligopolietheorie. In het Cournot-model controleren de ondernemingen hun produktieniveau, dat de marktprijs beïnvloedt, terwijl in het Bertrand-model de ondernemingen de prijs van een eenheid produkt kiezen om de marktvraag te beïnvloeden.
Een groot deel van de literatuur behandelt Cournot- of Bertrand-concurrentie in oligopolide markten, maar er is slechts een aanzienlijk kleiner aantal werken gewijd aan Cournot-Bertrand-concurrentie, die worden gekenmerkt door het feit dat de markt kan worden onderverdeeld in twee groepen ondernemingen, waarvan de eerste de prijzen optimaal aanpast en de andere zijn produktie optimaal aanpast om een maximale winst te verzekeren.
Cournot-Bertrand-model bestaat in realistische economie. Bijvoorbeeld, in een duopolistische markt, concurreert één firma met een dominante positie, en zij kiest de produktie als beslissingsvariabele, terwijl de andere in het nadeel is, en zij kiest de prijs als beslissingsvariabele om meer marktaandeel te verwerven. Zoals bekend zijn Bylka en Komar en Singh en Vives de eerste auteurs die duopolies analyseren, waarbij de ene onderneming concurreert op hoeveelheden en de andere op prijzen. Häckner , Zanchettin , en Arya et al. wezen erop dat in sommige gevallen Cournot-Bertrand-concurrentie optimaal kan zijn. Onlangs hebben C. H. Tremblay en V. J. Tremblay de rol van productdifferentiatie geanalyseerd voor de statische eigenschappen van het Nash-evenwicht van een Cournot-Bertrand duopolie. Naimzada en Tramontana beschouwden een Cournot-Bertrand duopoliemodel, dat gekenmerkt wordt door lineaire verschilvergelijkingen. Zij analyseerden ook de rol van best response dynamics en van het adaptieve aanpassingsmechanisme voor de stabiliteit van het evenwicht.
In dit artikel stellen wij een Cournot-Bertrand duopoliemodel op, waarbij wij aannemen dat twee ondernemingen respectievelijk de output en de prijs als beslissingsvariabele kiezen, en dat zij allen begrensde rationele verwachtingen hebben. Het spelsysteem kan worden beschreven door niet-lineaire verschilvergelijkingen, hetgeen de resultaten van Naimzada en Tramontana , die de firma’s met statische verwachtingen beschouwden en beschreven door lineaire verschilvergelijkingen, wijzigt en uitbreidt. Het onderzoek zal leiden tot een goede begeleiding voor de beslissers van de onderneming om de beste besluitvorming te doen.
De paper is als volgt georganiseerd het Cournot-Bertrand spelmodel met begrensde rationele verwachtingen wordt beschreven in Sectie 2. In Sectie 3 worden het bestaan en de stabiliteit van evenwichtspunten bestudeerd. Dynamische gedragingen onder bepaalde veranderingen van de controleparameters van het spel worden onderzocht door numerieke simulaties in Sectie 4. Tenslotte wordt in Paragraaf 5 een conclusie getrokken.
2. Het Cournot-Bertrand Spelmodel met begrensde rationele verwachtingen
We beschouwen een markt die wordt bediend door twee ondernemingen en de onderneming produceert goed , . Er is een zekere mate van differentiatie tussen de producten en . Firma 1 concurreert op outputgebied zoals in een Cournot duopolie, terwijl firma 2 haar prijs vaststelt zoals in het Bertrand geval. Veronderstel dat de ondernemingen hun strategische keuzes gelijktijdig maken en dat elke onderneming de productie en de prijs van elke andere onderneming kent.
De inverse vraagfuncties van de producten van variëteit 1 en 2 komen voort uit de maximalisering door de representatieve consument van de volgende nutsfunctie: onder de budgetbeperking en worden gegeven door de volgende vergelijkingen (zie voor het gedetailleerde bewijs ): waarbij de parameter de index van productdifferentiatie of productsubstitutie aangeeft. De mate van productdifferentiatie neemt toe naarmate . Producten en zijn homogeen wanneer , en elke onderneming is een monopolist wanneer , terwijl een negatieve impliceert dat producten complementair zijn. Veronderstel dat de twee ondernemingen dezelfde marginale kosten hebben , en dat de kostenfunctie de lineaire vorm heeft: We kunnen het vraagsysteem schrijven in de twee strategische variabelen, en : De winstfuncties van firma 1 en 2 zijn in de vorm:
We gaan ervan uit dat de twee ondernemingen geen volledige kennis hebben van de markt en de andere speler, en dat zij beslissingen nemen op basis van de verwachte marginale winst. Indien de marginale winst positief (negatief) is, verhogen (verlagen) zij hun productie of prijs in de volgende periode; dat wil zeggen, zij zijn begrensde rationele spelers. Dan kan het Cournot-Bertrand gemengd dynamisch systeem worden beschreven door de niet-lineaire verschilvergelijkingen: waarin en respectievelijk de aanpassingssnelheid van de twee spelers in elke relatie voorstellen.
3. Evenwichtspunten en lokale stabiliteit
Het systeem (6) heeft vier evenwichtspunten: waarin , . , , en de grensevenwichtspunten zijn, en is het unieke Nash-evenwichtspunt op voorwaarde dat en , dat vereist .
Om de lokale stabiliteit van de evenwichtspunten te onderzoeken, laat de Jacobiaanse matrix van systeem (6) corresponderen met de toestandsvariabelen , dan waar , . De stabiliteit van de evenwichtspunten zal bepaald worden door de aard van de evenwichts-eigenwaarden van de Jacobiaanse matrix geëvalueerd in de overeenkomstige evenwichtspunten.
Propositie 1. De grensevenwichten , , en van systeem (6) zijn onstabiele evenwichtspunten wanneer .
Bewijs. Voor evenwicht , is de Jacobiaanse matrix van systeem (6) gelijk aan Deze eigenwaarden die corresponderen met evenwicht zijn als volgt: Klaarblijkelijk , dan is het evenwichtspunt onstabiel.
Ook bij de Jacobiaanse matrix wordt een driehoekige matrix Deze eigenwaarden die corresponderen met evenwicht zijn als volgt: Wanneer , klaarblijkelijk . Dus, het evenwichtspunt is onstabiel. Op dezelfde manier kunnen we bewijzen dat is ook instabiel.
Uit economisch oogpunt zijn we meer geïnteresseerd in de studie van de lokale stabiliteitseigenschappen van het Nash-evenwichtspunt , waarvan de eigenschappen diepgaand geanalyseerd zijn in .
De Jacobiaanse matrix geëvalueerd in het Nash-evenwichtspunt is als volgt
De herleiding en determinant van worden respectievelijk aangeduid als en ,. Met betrekking tot het punt , , en , is het nu moeilijker om de eigenwaarden expliciet te berekenen, maar het is nog steeds mogelijk om de stabiliteit van het Nash-evenwichtspunt te evalueren met behulp van de volgende stabiliteitsvoorwaarden, bekend als de voorwaarden van Jury : De bovenstaande ongelijkheden definiëren een gebied waarin het Nash-evenwichtspunt lokaal stabiel is. Ook via numerieke simulaties kunnen we meer te weten komen over de stabiliteitsregio. Om de complexe dynamiek van systeem (6) te bestuderen, is het handig om de parameterwaarden als volgt te nemen: Figuur 1 toont in het parametervlak de stabiliteits- en instabiliteitsgebieden. Uit de figuur kunnen we afleiden dat een te hoge verstelsnelheid het Nash-evenwichtspunt zijn stabiliteit doet verliezen. We vinden ook dat de aanpassingssnelheid van de prijs gevoeliger is dan de snelheid van de output, en wanneer ongeveer , zal het Nash-evenwichtspunt de stabiliteit verliezen, terwijl ongeveer het Nash-evenwichtspunt dat zal doen.
De stabiliteits- en instabiliteitsregio.
4. The Effects of Parameters on System Stability
De parameter basin plots (ook 2D bifurcatiediagrammen genoemd) zijn een krachtiger hulpmiddel bij de numerieke analyse van niet-lineaire dynamica dan de 1D bifurcatiediagrammen , die in een 2D parameterruimte verschillende kleuren toekennen aan stabiele cycli van verschillende perioden. In deze sectie zullen de parameter-bekkenplots worden gebruikt om de effecten van de aanpassingssnelheid van de spelers en de index van produktdifferentiatie op de stabiliteit van het systeem te analyseren. We stellen en beginwaarden in als .
4.1. De effecten van de aanpassingssnelheid van de spelers op de stabiliteit van het systeem
Figuur 2 toont het parameterbekken met betrekking tot de parameters wanneer en kent verschillende kleuren toe aan stabiele stabiele toestanden (donkerblauw); stabiele cycli van periode 2 (lichtblauw), 4 (paars), en 8 (groen) (de eerste vier cycli in een periode-verdubbeling bifurcatie route naar chaos) en periode 3 (rood), 5 (oranje), en 7 (roze) (lage orde stabiele cycli van oneven periode); chaos (geel); divergentie (wit) (wat betekent dat een van de spelers uit de markt zal zijn in de economie).
Het parametergebied voor .
We kunnen vaststellen dat wanneer de parameters de grenzen passeren zoals de zwarte pijlen en , systeem (6) zijn stabiliteit verliest door flip bifurcatie (periode- verdubbeling bifurcatie genoemd in continu systeem), zoals getoond in figuren 3 en 4. Maar wanneer de parameters de grenzen overschrijden zoals de pijl , is het dynamisch gedrag van het systeem ingewikkelder, en gaat het eerst in chaos door Neimark-Sacker bifurcatie (genoemd Hopf bifurcatie in continu systeem) , tweede gaat periode 2 in, en evolueert dan in chaos door flip bifurcatie afzonderlijk, zoals getoond in Figuur 5. We zien ook dat er in het gele gebied (chaos) een rode lijn en oranje punten (oneven cyclus) zijn; dat wil zeggen, er is intermitterende oneven cyclus in de chaos zoals getoond in Figuur 3 tot Figuur 5. Het is bekend dat, voor 1D continue kaarten, een cyclus met oneven periode chaotisch dynamisch gedrag impliceert (de zogenaamde topologische chaos) volgens het beroemde “periode 3 impliceert chaos” resultaat van Li en Yorke .
Bifurcatiediagram voor en varieert van 1,5 tot 3,5.
Bifurcatiediagram voor en varieert van 1.5 tot 2.8.
Bifurcatiediagram voor en varieert van 1.8 tot 2.8.
Uit economisch oogpunt moet de aanpassingssnelheid van ondernemingen en en binnen een bepaald bereik liggen; anders komt het systeem in een cyclusschommeling terecht, en vervolgens in chaos, hetgeen onregelmatig betekent, gevoelig voor beginwaarden, onvoorspelbaar en slecht voor de economie. Wij vinden ook dat de aanpasbare waaier van groter is dan die van, wat betekent dat de aanpassing van prijs gevoeliger is dan die van output, en de prijzenoorlog is gemakkelijker om markt in chaos te krijgen.
4.2. De effecten van de index van produktdifferentiatie op de stabiliteit van het systeem
Om de invloeden van de index van produktdifferentiatie op de stabiliteit van het systeem te bepalen, worden in de figuren 6, 7, 8 en 9 de parameterbekkens voor , , en afzonderlijk gegeven.
Het parameterbekken voor .
Het parameterbekken voor .
Het parameterbekken voor .
Het parameterbekken voor .
Van de vergelijking kunnen we zien dat het donkerblauwe gebied groter wordt en het gele gebied kleiner naarmate de index van productdifferentiatie toeneemt; dat wil zeggen, de mate van productdifferentiatie is kleiner, en het instelbare bereik van parameters en om het systeem stabiel te laten blijven wordt groter, wat meer concurrentie tussen de producten van de twee bedrijven betekent.
5. Conclusies
In dit document stellen wij een Cournot-Bertrand gemengd spelmodel voor, waarbij wij veronderstellen dat de ondernemingen niet over de volledige informatie van de markt en de tegenstander beschikken, en zij hun besluiten nemen volgens hun eigen marginale winst. De vraag- en kostenfunctie worden lineair verondersteld en het model kan worden beschreven door verschilvergelijkingen. Het grensevenwicht is altijd onstabiel en het bestaan en de lokale stabiliteit van het Nash-evenwicht worden geanalyseerd. Bovendien analyseren wij de effecten van de parameters (aanpassingssnelheid en de index van productdifferentiatie) op de stabiliteit van het systeem, en verschillende bifurcaties en routes naar chaos worden geanalyseerd met behulp van parameter-bekkenplots. De Cournot-Bertrand spelmodellen onder verschillende marketing omgevingen moeten worden overwogen, en het zal een interessant onderwerp voor toekomstige studie zijn.
Acknowledgments
De auteurs danken de recensenten voor hun zorgvuldige lezing en het geven van enkele pertinente suggesties. Het onderzoek werd ondersteund door de National Natural Science Foundation van China (nr. 61273231).
Geef een antwoord