Argandvlak en poolvoorstelling

Argand Plane

In de eerdere lessen heeft u gelezen over de getallenlijn. Het is een handige manier om reële getallen voor te stellen als punten op een lijn. Op dezelfde manier heb je gelezen over het Cartesisch Assenstelsel. Het is een verzameling van drie loodrecht op elkaar staande assen en een handige manier om een verzameling getallen (twee of drie) of een punt in de ruimte voor te stellen.

Laten we beginnen met de getallenlijn. Stel je voor dat je een soort wiskundegod bent en dat je zojuist de reële getallen hebt geschapen. Het toeval wil dat u een andere lijn trekt, loodrecht op de reële as. Wat zal deze lijn zijn? Die is beslist niet reëel. Het moet dus een imaginaire of complexe lijn zijn.

Dus hebben we een manier om elk imaginair getal grafisch voor te stellen. Het enige wat we moeten doen is het reële deel en het imaginaire deel vinden. Vervolgens stellen we ze voor op de twee getallenlijnen die loodrecht op elkaar staan. Het snijpunt, zoals hierboven getoond, is de oorsprong van ons vlak.

Het aldus gevormde vlak staat bekend als het Argandvlak en is een handige manier om elk denkbeeldig getal grafisch voor te stellen. Zij z = x + iy. Dan is Re(z) = x en Im(z) = y.

• Basisbegrippen van complexe getallen
• Operaties op complexe getallen
• Modulus en Conjugaat van een complex getal
• Complexe kwadratische vergelijkingen

Het geordend paar (x,y) voorgesteld op het vlak van Argand zal een punt voorstellen. Dit punt komt overeen met ons complex getal z. We trekken een gerichte lijn van O naar het punt P(x,y) dat z voorstelt. Zij θ de hoek die deze rechte maakt met de positieve richting van de “Reële As”. (90 – θ) is dus de hoek die hij maakt met de “imaginaire as”. Dit is enigszins belangrijk, dus hou het bij de hand!

Argument van z

Zoals reeds vastgesteld, kan elk Complex getal ergens op het Argandvlak worden voorgesteld. Dit volgt uit het feit dat onder de werking van onze Algebra, Complexe getallen gesloten zijn. Stel je voor dat je twee getallen voorstelt, z1 = 2 +3i en z2 = 2 – 3i. We kunnen zien dat |z1| = |z2|. Oeps! Wat hebben we gedaan? Als je de twee punten (2, 3) en (2, -3) uitzet, zul je zien dat ze symmetrisch zijn boven en onder de reële assen. We noemen ze de spiegelbeelden van elkaar.

Hoe zien we het verschil tussen hen? We introduceren een andere grootheid, genaamd het Argument van z1 en z2. Zij is gedefinieerd als de hoek ‘θ’ die de lijn die het punt P (dat ons complex getal voorstelt) met de oorsprong O verbindt, maakt met de positieve richting van de “Reële Assen”. Dit geeft aan elk complex getal een unieke zin van een richting of oriëntatie op het Argandvlak. Vandaar dat we elk punt op het Argandvlak uniek kunnen voorstellen.

Modulus van een complex getal

In een vorig hoofdstuk hebben we de modulus van een imaginair getal z = a + ib gedefinieerd als |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Hier zullen we zien dat deze definitie perfect past in de meetkundige voorstelling van de complexe getallen.

In de bovenstaande figuur is de pijlpunt P (a, b), waarbij P het getal z = a + ib voorstelt. Dan kan de lengte van OP met behulp van de afstandsformule worden bepaald als = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2}

Hiermee kunnen we zeggen dat OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . De modulus is dus de lengte van het lijnstuk dat het punt, corresponderend met ons complex getal, verbindt met de oorsprong van het Argandvlak. Zoals je ziet is die altijd positief, vandaar dat we het de modulus noemen. Het valt nu allemaal op zijn plaats, nietwaar?

U kan het complexe getallen spiekbriefje downloaden door op de download knop hieronder te klikken

Polaire voorstelling

We hebben verschillende types van coördinatenstelsels. Een daarvan is het poolcoordinatenstelsel. Het is gewoon een verzameling van onderling loodrechte lijnen. De oorsprong wordt de pool genoemd. We meten de positie van een punt door de lengte te meten van de lijn die het verbindt met de oorsprong en de hoek die de lijn maakt met een bepaalde as. Als we bijvoorbeeld de waarde van φ en r kennen, kunnen we P lokaliseren. Dit zijn de poolcoordinaten, r en φ.

Zo ook kunnen we, als we het Argument van een complex getal in het Argandvlak kennen en de lengte OP, het genoemde getal lokaliseren. Zij r = OP. We weten ook dat OP = |z| = r ; waarbij z = x + iy

De coördinaten van P zijn (x, y). In de rechthoekige driehoek zien we dat x = r cos(θ) en y = r sin(θ). We kunnen dus schrijven, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Dit, beste vrienden, is de polaire voorstelling van ons complexe getal z = x + iy met:

Arg(z) = θ en |z| = r

Nu is y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Daaruit volgt θ = tan-1(y/x)

Met behulp van deze relatie kunnen we het argument van een complex getal vinden.

Oplossingen voor jou

Vraag 1: Als z = -2(1+2i)/(3 + i) waarbij i= \( \sqrt{-1} \), dan is het argument θ(-π < θ ≤ π) van z is:

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4} \)

Antwoord : D) Als z = -2(1+2i)/(3 + i)

Multipliceren en delen door (3 – i), krijgen we

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Vergelijkt men dit met z = x + iy, hebben we x = -1 en y = -1

Daaruit volgt θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 θ( \frac{π}{4} \)

Waarom niet θ( \frac{π}{4} \) ? Omdat, zowel x als y negatief zijn. Dat betekent dat het punt P nu in het derde kwadrant ligt. Daarom is θ = -3 θ( \frac{π}{4} \) .

Vraag 2: Wat is de basisstructuur van een argument?

Antwoord: Een argument bestaat uit ten minste één premisse die niet tot een conclusie leidt. Bovendien bestaat het uit ten minste één premisse en één drogreden die we gebruiken om een conclusie te ondersteunen. Bovendien bestaat een argument uit premissen die gebruikt worden om een conclusie te ondersteunen.

Vraag 3: Wat is de argumentatielijst?

Antwoord: Argument verwijst naar een lijst die we uitdrukken in de door komma’s gescheiden lijst begrensd door de haakjes in een functie-aanroep expressie, of het is een opeenvolging van verwerkingstokens in de door komma’s gescheiden lijst omsloten door de interpolaties in een functie-achtige macro-aanroep.

Vraag 4: Wat is het verschil tussen het hoofdargument en argument?

Antwoord: De waarde die ligt tussen -pi en pi wordt het principaal argument van een complex getal genoemd. Bovendien is de waarde zo dat -π < θ = π. Bovendien is θ een periodieke functie met een periode van 2π, zodat we dit argument kunnen voorstellen als (2nπ + θ), waarbij n een geheel getal is en dit een algemeen argument is.

Vraag 5: Wat is het argument van een reëel getal?

Antwoord: Het is de hoek die de vector en het complexe getal maken met de positieve reële as. Ook als het reele getal positief is, is het antwoord je hoekmaat.