4.3: Samendrukbaarheid en Expansiviteit

Een uitdrukking voor een partiële afgeleide afleiden (Type I): De reciproke regel

Beschouw een systeem dat door drie variabelen wordt beschreven, en waarvoor men een wiskundige beperking op de variabelen kan schrijven

Onder deze omstandigheden kan men de toestand van het systeem specificeren door slechts twee parameters onafhankelijk te laten variëren, omdat de derde parameter een vaste waarde zal hebben. Als zodanig kan men twee functies definiëren: \z(x,y)en y(x,z).

Dit maakt het mogelijk om de totale differentialen voor \(dz) en \(dy) als volgt te schrijven

en

Door de uitdrukking van vergelijking \ref{eq6} in vergelijking \ref{eq5} te substitueren:

= \left( \dfrac{\partieel z}{\partieel x}} \rechts)_y dx + \left( \dfrac{\partieel z}{\partieel y} \rechts)_x \left( \dfrac{\partieel y}{partiële x} \rechts)_z dx + \left( \dfrac{partiële z}{partiële y} \rechts)_x \left( \dfrac{partiële y}{partiële z} \rechts)_x dz \label{eq7}

Als het systeem een verandering ondergaat volgens een traject waarbij \(x) constant wordt gehouden (\(dx = 0)), vereenvoudigt deze uitdrukking tot

En zo ook voor veranderingen waarbij \(dz = 0),

Deze reciproke regel is erg handig bij de manipulatie van partiële afgeleiden. Maar hij kan ook op een eenvoudige, zij het minder rigoureuze, manier worden afgeleid. Begin met het schrijven van het totale differentiaal voor z(x,y)\) (Vergelijking \r{eq5}):

Deel nu beide zijden door \(dz) en beperk tot de constante \(x).

Noem dat

en

Vergelijking \ref{eq10} wordt

of

Deze “formele” methode van partiële derivaten manipulatie is handig en nuttig, hoewel het niet wiskundig rigoureus is. Zij werkt echter wel voor het soort partiële afgeleiden dat men in de thermodynamica tegenkomt, omdat de variabelen toestandsvariabelen zijn en de differentialen exact zijn.