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Equações lineares em uma variável são equações onde a variável tem um expoente de 1, o que normalmente não é mostrado (entende-se). Um exemplo seria algo como \(12x = x – 5\). Para resolver equações lineares, há um objetivo principal: isolar a variável. Nesta lição, veremos como isso é feito através de vários exemplos.

Tabela de conteúdos

1. Exemplos de resolução de equações de um passo
2. Exemplos de resolução de duas…equações passo a passo
3. Exemplos de equações onde você deve simplificar primeiro
4. Infinitamente muitas ou nenhuma solução
5. Resumo

Exemplos de resolução de equações lineares de um passo

Após todo o seu trabalho árduo na resolução da equação, sabes que queres uma resposta final, como por exemplo: “5” ou “1”. Em ambos os casos a variável é isolada, ou por si só.

Então precisamos de descobrir como isolar a variável. Como fazemos isso depende da própria equação! Se ela foi multiplicada por alguma coisa, nós vamos dividir. Se algo foi adicionado a ela, nós subtrairemos. Ao fazer isso, estaremos lentamente obtendo a variável por si só.

Vamos usar um exemplo para ver como isso funciona.

Exemplo

Solver a equação: \(4x = 8\)

Solução

Neste exemplo, o 4 está a multiplicar o \\(x\). Portanto, para isolar \(x\), você deve dividir esse lado por 4. Ao fazer isso, você deve se lembrar de uma regra importante: o que quer que você faça para um lado da equação, você deve fazer para o outro lado. Então vamos dividir ambos os lados por 4.

(begin{align}4x &= 8 {4x}{4x}{4x}{4x}{4}{5774}(begin{align}4x &= 8 }dfrac{4x}{4x}{4x} &= {\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}{\an8}}}Põe fim ao alinhamento (É por isso que equações como estas são frequentemente chamadas equações de “um passo”)

Check

Ainda que esteja a resolver equações lineares, pode sempre verificar a sua resposta, substituindo-a pela equação. Se você obtiver uma afirmação verdadeira, então a resposta está correta. Isto não é 100% necessário para cada problema, mas é um bom hábito, por isso vamos fazê-lo para as nossas equações.

Neste exemplo, a nossa equação original era \(4x = 8\). Para verificar isso, verifique se o seguinte é verdadeiro:

\(\begin{align}4x &= 8\\\ 4(2) &= 8 \\ 8 &= 8\end{align}\)

Esta é uma afirmação verdadeira, então nossa resposta está correta.

Para qualquer equação, qualquer operação que você faça para um lado também deve ser feita para o outro lado

Vamos tentar mais alguns exemplos antes de passar para equações mais complexas.

Exemplo

Solve: \(3x=12\)

Solução

Desde que \(x\) está sendo multiplicado por 3, o plano é dividir por 3 em ambos os lados:

(\begin{align}3x &=12\\\\\\dfrac{3x}{\cor{vermelho}{3}}} &==dfrac{12}{{12}{3}{3}} x&= {4}end{alinhamento}}

Check

Para verificar a nossa resposta, vamos deixar {x = 4} e substituí-la novamente na equação:

(\begin{align}3x &= 12\\3(4) &= 12 \\ 12 &= 12\end{align})

Just as before, já que esta é uma afirmação verdadeira, sabemos que a nossa resposta está correcta.

No exemplo seguinte, em vez da variável ser multiplicada por um valor, um valor está sendo subtraído da variável. Para “desfazer” isto, vamos adicionar esse valor a ambos os lados.

Exemplo

Solve: \(y-9=21\\)

Solução

Desta vez, 9 está sendo subtraído de y. Então, vamos desfazer isso, adicionando 9 a ambos os lados.

(begin{alinhamento}y-9&=21=21=21=color{red}{+9}&=21=color{red}{+9}y&=30=end{alinhamento})

Próximo vamos olhar para o que é comumente chamado de equações de “dois passos”. Nessas equações, precisaremos desfazer duas operações para isolar a variável.

Exemplos de equações de dois passos

Em cada um dos exemplos acima, havia um único passo a ser executado antes de termos nossa resposta. Nestes próximos exemplos, você verá como trabalhar com equações que têm dois passos em vez disso. Se houver mais de uma operação, é importante lembrar a ordem das operações, PEMDAS. Uma vez que você está desfazendo as operações para {\i1}(x), você vai trabalhar a partir do “fora para dentro”. Isto é mais fácil de entender quando você o vê num exemplo.

Exemplo

Solve: \(2x-7=13\\)

Solução

Note as duas operações que acontecem ao \(x\): está a ser multiplicado por 2 e depois subtraído por 7. Teremos de desfazer estas operações. Mas, apenas o {\i1}(x) está sendo multiplicado por 2, então o primeiro passo será adicionar 7 a ambos os lados. Depois podemos dividir ambos os lados por 2.

Adicionando 7 a ambos os lados:

(\begin{align} 2x-7 &= 13\\\\\ 2x-7 {+7} & =13 {red}{+7}} 2x&=20end{alinhamento}}

Dividir agora ambos os lados por 2:

({\an8}}({\an8}}({\an8}}}({\an8}}}({\an8}}({\an8}}}({\an8}}}({\an8}}}({\an8}}}({\an8}}}

Cheque

Apenas com problemas mais simples, você pode verificar a sua resposta substituindo o seu valor de {\i1}(x) de volta na equação original.

\(\begin{align}2x-7&=13\\\\\\ 2(10) – 7 &= 13\\\\ 13 &= 13\end{align})

É verdade, por isso temos a resposta correcta.

Vejamos mais um exemplo de dois passos antes de saltarmos de novo em dificuldade. Certifique-se de que você entende cada passo mostrado e trabalhe através do problema também.

Exemplo

Solve: \(5w + 2 = 9\)

Solução

Como acima, há duas operações: \está a ser multiplicada por 5 e depois tem 2 adicionadas a ela. Vamos desfazê-las, primeiro subtraindo 2 de ambos os lados e depois dividindo por 5,

(begin{align}5w + 2 &= 9\\\ 5w + 2\ cor{red}{-2} &= 9\ cor{red}{-2}} 5w &= 7\dfrac{5w}{5w}{5 cor{red}{5}}} &=dfrac{7}{7}{5}}w=boxed{7}{5}{5}}end{alinhamento})

A fração à direita não pode ser simplificada, então essa é a nossa resposta final.

Check

Let {7}{5774>Let {7}{5}). Então:

(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\ 5\esquerda(\dfrac{7}{5}{5}direita) + 2 &= 9\\ 7 + 2 &= 9\\ 9 &= 9 \end{align})

Então, temos mais uma vez a resposta correcta!

Simplificar antes de resolver

Nos exemplos seguintes, há mais termos variáveis e possivelmente alguma simplificação que precisa de ser feita. Em cada caso, os passos serão primeiro simplificar ambos os lados, depois usar o que temos vindo a fazer para isolar a variável. Vamos primeiro analisar um exemplo a fundo para ver como tudo isto funciona.

Para entender esta seção, você deve estar confortável com a combinação de termos como.

Exemplo

Solve: \(3x+2=4x-1\)

Solução

Desde que ambos os lados estejam simplificados (não há parênteses que precisemos de descobrir e não há termos semelhantes para combinar), o próximo passo é colocar todos os x’s de um lado da equação e todos os números do outro lado. A mesma regra se aplica – o que quer que você faça para um lado da equação, você deve fazer para o outro lado também!

É possível ou mover o {\i1}(3x) ou o {\i}(4x). Suponhamos que você moveu o {\i1}(4x}). Como é positivo, você faria isso subtraindo de ambos os lados:

(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\\\\ 3x+2\\ 3x+2\ cor{vermelho}{-4x} &=4x-1=color{vermelho}{-4x}} -x+2 & =-1{alinhamento}}

Agora a equação parece com as que foram trabalhadas antes. O próximo passo é subtrair 2 de ambos os lados:

(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}-x=-3\end{align})

Finalmente, uma vez que \(-x= -1x\) (isto é sempre verdade), dividir ambos os lados por \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &==dfrac{-3}{\i}{\i1}{\i1}x&=3}end{alinhamento}\i}

Check

Você deve tirar um momento e verificar se o seguinte é uma afirmação verdadeira:

\i(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\i)

No próximo exemplo, precisaremos usar a propriedade distributiva antes de resolver. É fácil cometer um erro aqui, então certifique-se de distribuir o número na frente dos parênteses para todos os termos dentro.

Exemplo

Solve: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Solução

Primeiro, distribua o 3 e -3, e recolha os termos.

\(\begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \ 3x+5&=-2x-3\end{align})

Agora podemos adicionar 2x a ambos os lados. (Lembre-se que você terá a mesma resposta se, em vez disso, subtrair 3x de ambos os lados)

\(\begin{align}{align}) 3x+5\ cor{vermelho}{+2x} &=-2x-3\cor{red}{+2x}\\ 5x+5& =-3{alinhamento})

Daqui, podemos resolver como fizemos com outras equações de dois passos.

(\begin{alinhamento}5x+5\cor{red}{-5} &=-3{{5}{5}{5}{5}{5}&=-8}dfrac{5x}{5}{5}}&==dfrac{-8}{5}{5}{5}{5}{6}{7}{8}{8}{8}{7}{8}{8}{8}{8}{8}{8}{8}{8}{8}{8}{8}{8}{8}{8}}{8}{8}}}}}&=-3 &==boxed{-dfrac{8}{5}}end{align})

Check

Esta foi difícil, por isso lembre-se de verificar a sua resposta e certifique-se de que não foi cometido nenhum erro. Para fazer isso, você estará se certificando de que o seguinte é uma afirmação verdadeira:

(3}esquerda(-\i1}{5}+2}direita)-1==esquerda(-\i}{8}{5}direita)-3=esquerda(-\i}{8}{5}+1}direita)}8613>

(Nota: funciona – mas você tem que ter muito cuidado com parênteses!)

Infinitamente muitas soluções e nenhuma solução

Existem momentos em que você segue todos estes passos e uma solução realmente estranha aparece. Por exemplo, ao resolver a equação \(x+2=x+2\) usando os passos acima, acaba com \(0=0\). Isto é certamente verdade, mas que bem faz?

Se obtiver uma afirmação como esta, significa que a equação tem infinitas soluções. Qualquer \\\i1}(x\i}) que você pudesse pensar satisfaria a equação \i}(x+2=x+2=x+2=). A resposta apropriada neste caso é “infinitamente muitas soluções”.

A outra situação surge quando você simplifica uma equação para uma declaração que nunca é verdadeira, como \i(3=4=) ou \i(0=1=). Isto acontece com a equação \\(x+5=x-7\) que levará a \(5= -7\), algo que certamente nunca é verdade. Isto quer dizer que nenhum {\i1}o que satisfaz esta equação. Em outras palavras, “sem solução”. Em resumo:

• Se você obtiver uma declaração que seja sempre verdadeira como \(5 = 5\) ou \(0 = 0\), então há infinitas soluções.
• Se você obtiver uma declaração que seja sempre falsa como \(10 = 11\) ou \(1 = 5\), então não há soluções.

Sumário

Solucionar equações lineares é tudo sobre isolar a variável. Dependendo da equação, isto pode levar tão pouco quanto um passo ou muitos mais passos. Verifique sempre se você precisa simplificar um ou ambos os lados da equação primeiro, e sempre verifique sua resposta.

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