MathBootCamps

1変数の連立方程式は、変数が1の指数を持つ方程式で、通常表示しません（理解されます）。 例としては、 \(12x = x – 5ờng) のようなものである。 連立方程式を解くには、「変数を分離する」という大きな目標があります。 このレッスンでは、いくつかの例題を通して、この方法がどのように行われるかを見ていきます。

目次

1. 1段の方程式の解答例
2. 2段の方程式の解答例段階方程式
3. 先に簡略化しなければならない方程式の例
4. 無限に解がある、またはない
5. まとめ

1段階線形方程式の解例

一生懸命に方程式を解いたら、その方程式は、どうだったでしょうか。 のような最終的な答えが欲しいということは分かっているはずです。

そこで、どのように変数を分離するかを考える必要があります。 その方法は方程式そのものに依存する! もし何かに掛けられたのなら、割る。 何かが足されたなら、引き算をします。

例題を使って、これがどのように機能するかを見てみましょう。

例題

方程式を解いてみましょう。 \(4x = 8)

Solution

この例では、4が(x)に乗じていることがわかります。 その際、重要なルールを1つ覚えておく必要があります。 そこで、両辺を4で割ることにします。

(\begin{align}4x &= 8 \dfrac{4x}{color{red}{4}}) &= \dfrac{8}{color{red}{4}} end{align})

Simplifying:

(x = \boxed{2})

これだけで、一段落です。 (だからこのような方程式はよく「一段方程式」と呼ばれます）

Check

連立方程式を解くときはいつでも、答えを方程式に代入して確認することができます。 もし真の文が得られたら、その答えは正しいということです。

この例では、元の方程式は \(4x = 8ờng) でした。

これが正しいかどうかを確認します。

これは正しいので、答えは正しいです。

どんな方程式でも、片側にする操作は必ず反対側にもする

より複雑な方程式に移る前に、もう2つの例を試してみましょう。 \⑭(3x=12)

Solution

⑭(x) は3倍されているので、両辺を3で割ることになります。 &=Thinkdrac{12}{color{red}}} x&= \boxed{4} end{align})

確認

答えを確認するために、(x = 4) とし、それを式に代入し直します。

(\begin{align}3x &= 12 ◇3(4) &= 12 ◇end{align})

先ほどと同様に、これは真なので、答えは正しいことが分かります。

次の例では、変数に値が掛けられるのではなく、変数から値が引かれます。 これを「元に戻す」ために、その値を両辺に加えます。

例題

解答します。 \(y-9=21)

Solution

今回はyから9を引いているので、両辺に9を足して元に戻すことにする。

(\begin{align}y-9&=21} y-9 \color{red}{+9}&=21} cy&=30}end{align})

次は一般的に「2段方程式」と言われるものを見てみましょう。 これらの方程式では、変数を分離するために 2 つの操作を取り消す必要があります。

Examples of two step equations

上記の各例では、答えを得るまでに実行するステップが 1 つありました。 これらの次の例では、代わりに2つのステップを持つ方程式を操作する方法を見ることができます。 複数の演算がある場合は、PEMDASという演算の順番を覚えておくことが大切です。 この場合、”outside in “から作業することになりますので、”outside in “は、”outside “から “x “への操作を元に戻すことになります。 これは例題で見るとわかりやすいですね。

例題

解く。 \(2x-7=13)

Solution

このとき、”2倍 “と “7倍 “の2つの演算が行われていることに注意してください。 これを元に戻す必要があります。 しかし、2倍されているのは(xxx)だけなので、まず両辺に7を足す必要があります。

Adding 7 to both sides:

Philips (\begin{align} 2x-7 &= 13} 2x-7 \color{red}{+7}) & =13 \color{red}{+7}\ 2x&=20 ◇end{align}})

ここで両辺を2で割ります。

(\begin{align} 2x &=20 \dfrac{2x}{color{red}{2}}&=Centa x&= \boxed{10}end{align})

Check

より簡単な問題同様に、両辺を2で割ります。 の値を元の式に代入して、答えを確認することができます。

(\begin{align}2x-7&=13} 2(10) – 7 &= 13 &= 13}end{align})

これは正しいので、正解とします。

再び難易度を上げる前にもう一つ2段階の例を見ておきましょう。

例題

解きましょう。 \(5w + 2 = 9)

Solution

上のように2つの演算がある。 \(w)に5を掛けた後、2を足している。 これを元に戻すには、まず両辺から2を引いてから5で割ります。

○(\begin{align}5w + 2 &= 9 ○5w + 2 ○color{red}{-2} &= 9 ○5w &= 7 ○drac{5w}{3color{red}{-5}} ＜5774＞右の分数は単純化できないので、これが最終解です。

Check

w = \dfrac{7}{5}↵としてみましょう。 Then:

Comments(\begin{align}5w + 2 &= 9 ◇ 5left(\dfrac{7}{5}right) + 2 &= 9 ◇ 7 + 2 &= 9 ◇ 9 &= 9 ◇ end{align})

So, we have the correct answer once again!

解く前の簡略化

次の例では、変数項が多く、簡略化が必要な場合があります。 それぞれのケースで、まず両辺を簡略化し、次に今まで行ってきたことを使って変数を分離する、というステップを踏みます。 まずは例題で、その仕組みを詳しく見てみましょう。

このセクションを理解するためには、同類の項の組み合わせに慣れている必要があります。

例題

解答。 \(3x+2=4x-1}

Solution

両辺が単純化されているので（解明しなければならない括弧はなく、組み合わせる同類項もない）、次のステップは方程式の片側にあるxと反対側の数字をすべて取得することである。 同じルールが適用されます – 方程式の片側に何をするにしても、反対側にもしなければなりません

このように、[3x]と[4x]のどちらを動かしても良いのですが、[3x]と[4x]のどちらかを動かしてください。 仮に、(4x)を動かしたとします。 正なので、両辺から引きます。

(\begin{align}3x+2 &=4x-1} 3x+2 &=4x-1color{red}{-4x}} -x+2 & =-1}end{align})

これで、前に計算した式と同じになりましたね。

次に両辺から2を引きます。( \begin{align}-x+2} &= -1color{red}{-2}\-x=-3}end{align})

最後に、(-x= -1x} (this is always true) なので、両辺を(-1})で割ってください。

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=dfrac{-3}{color{red}{-1}} { x&=3}end{align}})

Check

以下が正しいか確認します。

That(3(3)+2 = 4(3) – 1)

次の例では解く前に分配の性質を使ってみる必要があります。 ここは間違えやすいので、括弧の前の数字を中のすべての項に分配するようにしましょう。

例題

解いてみましょう。 \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Solution

まず、3と-3を分配し、同じような項を集めます。 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)♪ ♪ 3x+6-1&=x-3x-3 ♪ 3x+5&=-2x-3 ♪ end{align}）

ここで両辺に2xを足すと…。 (代わりに両辺から3xを引いても同じ答えになることを忘れないでください)

(\begin{align}) 3x+5\color{red}{+2x}. &=-2x-3color{red}{+2x}} 5x+5& =-3

ここからは、他の2段の方程式と同様に解くことができます。 &=-3color{red}{-5}} 5x &=-8Centa \dfrac{5x}{color{red}}&=Centadfrac{-8}{color{red}} x &= \dfrac{-8}{5} \\ (注) &=boxed{->

end{align})

Check

今回は難しかったから、答え合わせをして間違いがないかを確認するのを忘れないでね。

以下の式が真であることを確認します。)

無限にある解とない解

これらの手順をすべて踏んでも、本当に奇妙な解が出てくることがあります。 例えば、” \(x+2=x+2)” という方程式を上記の手順で解くと、” \(0=0)” となる。 これは確かに正しいのですが、何の役に立つのでしょうか。

このように表示された場合、その方程式は無限に解があるということです。 という方程式を満たすことになります。

もう1つは、方程式を単純化したときに、 \(3=4) や \(0=1) のように、決して真にならない文になる場合です。 例えば「(x+5=x-7)」という式では「(5= -7)」という絶対に成り立たない式になってしまいます。 つまり、この方程式を満たすような “neigh \(xxx) “は存在しない。 つまり “解なし “なんだ。 まとめ：

• If you get a statement that is always true like \(5 = 5) or \(0 = 0), then there is infinitely many solutions.
• If you get a statement that is always false like \(10 = 11) or \(1 = 5), there is no solutions.In summary:
  [1]のような解は、無限にあると言える。

まとめ

連立方程式を解くには、変数を切り分けることが重要です。 方程式によっては、これは1ステップで済む場合もあれば、もっと多くのステップを要する場合もあります。

ニュースレターを購読する！

我々は常に新しい無料のレッスンを投稿し、より学習ガイド、電卓ガイド、問題パックを追加しています。

登録すると、新着情報を不定期（2～3週間に1回）でメールでお知らせします！