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Biography

この伝記は、複素数の「Argand diagram」で数学を勉強した人なら基本的に誰でもその名を知っているArgandについてである。 この伝記の冒頭で断っておくが、上に挙げた「ジャン・ロベール」というファーストネームと生没年は、正しいとは言い難いものである。 これらは実在の人物を指しているが、この人物が「アーガンド図法」の作者である可能性は低い。 ジャン・ロベール・アーガンはパリの会計士、簿記係で、数学はアマチュアであったが、「アーガンド図法」を考案した人物の伝記としては、おそらく間違っているが、次のような情報が標準になっている。 彼の経歴や学歴はほとんど知られていない。 父親はジャック・アーガン、母親はイヴ・カナックであることは分かっている。 生年月日に加えて、洗礼を受けた日（1768年7月22日）もわかっている。 その他、彼の生涯についてわかっている数少ない事実の中に、彼の子供たちについての情報が少しある。 彼の息子はパリで生まれ、そこに住み続け、娘のジャンヌ＝フランソワーズ＝ドロテ＝マリー＝エリザベス・アルガンはフェリックス・ブスケと結婚し、シュトゥットガルトに住んでいた。
この情報が真実とは思えない場合、この時点で、その出所を理解するとよいかもしれない。 Jules Hoüelは『Théorie Élémentaire des Quantités Complexes』という4巻の著作を出版しているⓉ。 1874年に第4巻を出版する前に、ホイエルはアルガンの伝記情報を探してみることにした。 彼は、計器を発明して一時期パリに住んでいたアミ・アルガン（1750-1803）がジュネーブの生まれであることを知っていた。 このことから、ホエルは、アルガン図の発明者もジュネーブ生まれではないかと推測し、ジュネーブの同僚にアルガンの伝記がないかどうか聞いてみた。 ホエルはジュネーブの同僚に、アルガンの伝記を調べてもらえないか、と依頼した。 しかし、1990年代後半にGert Schubringの研究により、「

…これら少数の既知のデータは疑わしい」と主張されるまで、この情報は確定的なものとして扱われてきたのである。 また、この「標準的な伝記」が間違っていることを示唆する議論もいくつかある。 一つは、アルガンドに会ったと思われるルジャンドルが、彼を「若い男」と表現していることである。 もしアルガンがジャン・ロベール・アルガンであれば、ルジャンドルに会ったとき38歳であり、この記述に値するとは思われない。 また、ジャン・ロベール・アーガンが会計士、簿記係であるのに対し、アーガンは著作から時計産業の専門技術者であることがわかる。
アーガンは複素数の幾何学的解釈で有名で、ⅲを90°回転と解釈している。 複素数のモジュラスという概念もアーガンドによるものだが、この概念を生み出したのは、後にこの言葉を使ったコーシーとされることが多い。 アーガンド図は数学を勉強しているほとんどの小学生に教えられており、アーガンドの名前はこの重要な概念を通して数学史に生き続けているのである。 しかし、彼の名前がこの複素数の幾何学的解釈と結びついているのは、かなり奇妙な出来事の連続の結果でしかない。
この複素数の幾何学的解釈を最初に発表したのはカスパー・ヴェッセルである。 この考えは1787年のウェッセルの著作に現れているが、1797年3月10日のデンマーク王立科学アカデミーの会合にウェッセルが論文を提出するまで発表されることはなかった。 この論文は1799年に出版されたが、数学界では注目されなかった。 1895年にクリスチャン・ユエルがこの論文に注目し再発見され、同年ソフス・リーもウェッセルの論文を再出版している
ウェッセルは測量士なので、一見すると意外に思われない。 しかし、アルガンも専門の数学者ではなかったので、1806年に複素数の幾何学的解釈を発表したときは、自費で個人的に出版したのだろうが、実際には出版された確証はない。 確かなことは、1806年から1813年の間に、ごく少数のコピーを私的に配布したというアーガンの発言だけである。 出版されたかどうかは問題ではなく、出版された証拠が残っていない以上、王立デンマーク・アカデミーから出版されたヴェッセルの作品よりも目立たないと予想されるからです。 さらに驚くべきことに、アルガンの名前は手記にすら記載されておらず、著者を特定することはできなかった
アルガンの作品が知られるようになった経緯は、かなり複雑である。 レジャンドルはアルガンの著作『Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques』Ⓣを受け取り、1806年11月2日にフランソワ・フランセに送ったが、どちらも著者の身元は分からなかった。 レジャンドルはこの手紙の中で次のように書いている：

世間に知られることなく、名声を求めることなく、科学を発展させる人々がいる。 最近、ある青年に会ったとき、彼が虚数について書いた著作を読んでくれと頼まれた。彼は私に自分の目的をうまく説明しなかったが、いわゆる虚数を他のものと同じように実数とみなして、それらを線で表していることを私に理解させた。 最初、私はこの著者に非常に疑わしいと思ったが、彼の手記を読むと約束した。 その結果、私の予想に反して、非常に独創的なアイディアが、非常にうまく表現されており、計算に関するかなり深い知識によって支えられていて、ついには三角測量のほとんどの公式やコートの定理など、非常に正確な結果を導くことがわかったのである。 ここに、あなたが興味を持ち、残りを判断することができるであろう、この作品のスケッチがあります。 … 私はここで彼のアイデアのほんの一部を紹介しただけだが、あなたはそれを補うことができるし、おそらく私のように、それが注目に値するほど独創的であることを見いだすだろう。 フランソワ・フランセが1810年に亡くなった後、彼の弟ジャック・フランセは彼の論文を整理し、その中からアルガンの小さな手記を発見したのである。 1813年9月、ジャック・フランセは論文Nouveaux principes de Géométrie de position, et interprétation des symboles imaginaires Ⓣを発表し、アルガンの考えに基づいて、興味深い応用を伴う複素数の幾何学表現を提示した。 ジャック・フランセは、これらのアイデアを自分のものにすることは容易であったかもしれないが、彼は全く逆のことをしたのである。 彼は論文の最後に、このアイデアはある無名の数学者の仕事に基づいていると述べ、その数学者は自分のアイデアの功績を受けるために名乗りを上げるよう求めたのである：

私は…正義のために、これらの新しいアイデアの本質は私のものではないことを宣言しなければならない。 この手紙の中で、この偉大な数学者は、私の第2、第3定義、第1定理、第2定理の第3帰結の内容を（彼に伝えられたこととして、また純粋な好奇心の対象として）彼と共有しているのです． 私は、私が到達した結果を公表することで、これらのアイデアの最初の著者が知られ、彼自身がこのテーマで行った研究が明るみに出ることを期待しています。

ジャック・フランセの論文はジェルゴンヌの雑誌『Annales de mathématiques』に掲載され、アルガンはジャック・フランセの求めに応じて、彼が著者であることを認め、彼の原著Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriquesを少し修正し、いくつかの新しい応用例を加えて『Annales de mathématiques』に提出することになったのです。 何かを世に知らしめるのに、議論ほど有効なものはありませんし、まさにその通りのことが次に起こりました。 ジャック・フランセ、アルガン、セルヴォアの間で活発な議論が交わされ、ジェルゴンヌの『ジャーナル』のページに掲載されたのである。 その中で、ジャック・フランセとアルガンは幾何学的表現の正当性を主張し、一方、セルヴォアは複素数は純粋代数を使って扱わなければならないと主張した
アルガンは他に数学への貢献はないだろうと予想されたかも知れない。 しかし、そうではなく、彼はアーガンド図形で常に記憶されているが、彼の最も優れた仕事は代数の基本定理であり、これについては、ほとんど評価されていない。 彼は1806年に代数学の基本定理の美しい証明を行い、その結果を1813年にGergonne’s Journalに発表したときも、わずかな隙間はあったが、証明した。 確かに、係数が複素数である場合の定理を最初に述べたのはアーガンドであった。 Petrova, in , は基本定理の初期の証明について述べ、アーガンはほとんど現代的な形で証明を行ったが、1813年の2度目の出版後は忘れられてしまったと述べている
1813年以降、アーガンは数学界でより高い地位を占めるようになった。 1813年以降、アルガンは数学界で注目されるようになり、1813年から1816年にかけて8本の論文を発表した。 そのほとんどは、彼自身の手記に基づくもの、あるいは他の数学者が発表した論文にコメントしたものである。 ジョーンズはアルガンの仕事を次のようにまとめている：-

アルガンは未知の経歴、非数学的職業、当時の文献との接触も不確かな人物で、直観的に重要なアイデアを開発し、その時期が来たのだ。 そして、そのアイデアを自ら実現した。

Gert Schubringは、アルガンがレジャンドルの幾何学的解釈に関心を持とうとしたときの様子を再現している。

1806年の秋、レジャンドルはアルガンに接近され、手稿にある最小結果の概要を直接話してみようとした。 レジャンドルはこの方法とその応用について懐疑的な反応を示した。 アルガンは帰り際にレジャンドルに原稿を読むように促した。 レジャンドルは、この男の名前を覚えていなかったので、原稿には作者の名前が書かれているものと思っていた。 アルガンが去った後、レジャンドルは、この原稿には住所も作者名も書かれていないことに気がついた。 エッサイ」を読んで、その質の高さに気づいたレジャンドルは、作者の再度の訪問を待ったが、作者は二度と現われなかった。 そして、この構想への自らの関わりを絶つため、1806年11月2日付の手紙でフランソワ・フランセに報告書を書いた。 レジャンドルは、この論文に関する議論に煩わされないようにと固く願っていたので、長男のフランソワも、後の若いフランソワも、あえてこの論文とその著者について彼に尋ねようとはしなかった。 一方、アルガンは、内気な性格だったらしく、ルジャンドルが無関心で懐疑的な反応を示したため、自分の論文を発表することを控えた。

アルガンは1806年にパリでルジャンドルに会い、1813年にはパリにいたことは確かで、この年に出版された論文にはパリの住所が記されている。 彼の手紙や出版物はすべてArgandという名前で出ており、他の名前はない。 これは、著者の実名というより、ノン・デ・プルームに見えるだろう。 もちろん、これが事実であれば、今後アーガンを特定する試みは一層困難になる（おそらく不可能になる）だろう。