Does 1+2+3… Really Equal -1/12?

A Numberphile video posted earlier this month claims that the sum of all the positive integers is -1/12.

I’m usually a fan of the Numberphile crew, they do great work making mathematics exciting and accessible but this video disappointed me.私は、Numberphileのスタッフが、数学をエキサイティングで身近なものにしてくれる素晴らしい仕事をしていることに感謝しています。 1/12という数字を1+2+3+4…という系列に関連付けることには意味がありますが、それを系列の和と呼ぶのは誤解を招くと私は思います。 さらに、この提示の仕方は、私が数学教育者としてしばしば出くわす誤解を助長するもので、数学者は明白な理由もなく恣意的に規則を変えており、学生は与えられた状況において何が許され何が許されないかを知る見込みはないのです。 物理学者のDr. Skyskullは、このビデオに関する投稿で、「気が滅入るほど多くの人々が、数学は超知的な人だけが理解できる非直感的で奇妙な魔術だと自動的に思い込んでいる」と述べています。 このようなおかしな結果を無条件に示すことは、そのような見方を強化するだけで、私の意見では、数学に害を与えています」

加算は二項演算である。 2つの数字を入れると、1つの数字が出てくる。 しかし、あなたはそれをより多くの数に拡張することができます。 例えば足したい数字が3つあったら、まずそのうちの2つを足して、できた和に3つ目を足せばいいのです。 有限個の足し算であれば、これを続けることができます（算数の法則によれば、どんな順番で足しても同じ答えになります）。しかし、無限個の項を足そうとすると、足し算の意味を選択しなければならなくなるのです。 無限足し算を扱う最も一般的な方法は極限という概念を使うことである

大雑把に言えば、項をどんどん足していくと数Lに近づいていく場合、無限級数の和は数Lであると言う。Lが有限の場合、その級数を収束と呼ぶ。 収束級数の一例として、1/2+1/4+1/8+1/16…がある。 この級数は数1に収束する。 その理由は簡単で、第1項の後、1への道のりが半分になるからです。 第2項の後、1までの残りの距離の半分になり、以下同様です。

ゼノンのパラドックスでは、実際には1にはならないが、限界点から見ればいくらでも近づけることができるとしています。 これは数学者が無限級数について話すときに通常意味する「和」の定義であり、「和」と「等しい」という言葉の直感的な定義と基本的に一致する。

しかし、すべての級数がこの意味で収束するわけではない（我々は非収束級数を発散型と呼ぶ）。 1-1+1-1… のように、項を追加し続けると異なる値の間を行き来するものもあれば、1+2+3+4… のように、任意に大きくなるものもあります。 1+2+3+4…のように任意の大きさになるものもある．従って，極限での収束の定義を使えば，1+2+3…の和が収束しないことは明らかである． もし私が「この級数の極限は有限の数 L だと思う」と言えば、いくつの項を追加すれば L よりもずっと上に行けるか簡単にわかるだろう。

数 -1/12 を 1+2+3… と関連付ける意味のある方法があるが、私は -1/12 を正の整数の「和」と呼ばないほうがよい。 この問題に取り組む 1 つの方法は、複素解析における解析的継続の考え方です。

複素平面上のどこかで定義されている関数 f(z) があるとします。 この関数が定義されている領域をUと呼ぶことにします。 より大きな領域で定義される別の関数F(z)を構成する方法を考え出すと、zがUにあるときはいつでもf(z)=F(z)となるようなことができます。 この関数F(z)はf(z)の解析的継続と呼ばれます。 (関数の解析的継続は一意であるため、”The” を使うのが適切です。)

複素関数がしばしば変数 z を含む無限級数として定義されるので解析的継続は有用です。しかし、ほとんどの無限級数は z のある値に対してのみ収束し、関数がより多くの場所で定義できるようになるとよいでしょう。 関数の解析的継続は、その無限級数定義が収束する領域以外の関数の値を定義することができる。 関数の解析的継続を元の無限級数の定義に後付けすることで 1+2+3…=-1/12 と言うことができます。この動きには Lucille Bluth 風のウインクが必要です。

問題の関数はリーマンのゼータ関数で、素数の分布に関する疑問と深い関係があることで有名である。 sの実部が1より大きいとき、リーマン・ゼータ関数ζ(s)はΣ∞n=1n-sと定義される。 (通常、複素関数の変数にはzという文字を使います。 この場合、1859年の論文でゼータ関数を定義したリーマンに敬意を表して、sを使う) この無限級数はs=-1では収束しないが、s=-1を入れると1+2+3…となることがわかる。 この関数を複素平面全体から点 s=1 を除いたところに解析的に続けたものがリーマンゼータ関数です。 s=-1のとき、ζ(s)=-1/12となる。 ζ(-1)と、複素平面の他の部分で関数を定義する形式的無限級数の間に等号をくっつけると、1+2+3…=-1/12という文が得られる。

Analytic continuation is not only the way to associate the number -1/12 to the series 1+2+3…． 複雑な解析を必要としない方法についての非常に良い、詳細な説明 (宿題付き) は、このテーマに関する Terry Tao の投稿をチェックしてください。

The Numberphile のビデオは、無限級数に値を割り当てることの意味について話し、これを行う異なる方法を説明する機会を持っていたので、私を悩ませたのです。 すでにこのテーマについて少し知っていれば、このビデオと、このテーマに関するより長い関連ビデオを見て、実際に何が起こっているのかを断片的にキャッチすることができます。 しかし、この動画の「すごい」要素は、視聴者が「和」が自分の考えていることを意味すると仮定した場合、正の数の束の和が負の数になることは意味がないという事実から来ています。

ナンバーファイルたちが、数字をシリーズに関連付ける別の方法についてより明確にしていれば、数学者が常に規則を変えていると人々に思わせる以上のことができたことでしょう。 ビデオの最後に、プロデューサーの Brady Haran が物理学者の Tony Padilla に、電卓で整数を永遠に足し続け、最後に「等しい」ボタンを押したら、-1/12 になるかと尋ねています。 パディラは生意気にも、”無限大までいかないとだめだよ、ブレイディ！”と言う。 しかし、答えは「ノー！」であるべきでした。ここで、彼らは無限級数に値を割り当てる別の方法を使用していることを明確にする機会を逃したと思います。 Slate ブログの過信的な記事の後、Phil Plait が、系列に値を割り当てるさまざまな方法について、より冷静な説明を書いています。 もし自分で「証明」の詳細を調べたいのであれば、John Baezがサポートしています。 Blake StaceyとDr. Skyskullは、正の整数の和に-1/12という数を代入することが物理学でいかに有用であるかについて書いています。 Richard Elwes は、私の古いお気に入りである調和級数に関する無限級数の「健康と安全のための警告」を投稿しています。 この無限級数の意味するところについての議論が盛んになるのは良いことだと思いますが、その議論をもっとビデオでやってほしかったと思います。