Complexity Analysis of a Cournot-Bertrand Duopoly Game Model with Limited Information

Abstract

市場と相手に関する情報が限られている、市場が線形需要で2社が同じ固定限界費用を持つCournot-Bertrand混合複占ゲームモデルを考察した。 意思決定の原理は束縛合理的である。 一方は生産量を、他方は価格を決定変数として選択し、市場全体がより低い価格を適用する企業によって占有されることを避けるために、企業が提供する製品間に一定の差別化が存在することを仮定している。 このゲームにおけるナッシュ均衡点の存在と局所的な安定性を調査した。 分岐シナリオやカオスへの道といった複雑なダイナミクスは、パラメータベイスンプロットを用いて数値実験により表示される。 また，パラメータがシステムの性能に与える影響について，経済学の観点から考察を行った。 はじめに

寡占とは、独占と完全競争の中間の市場構造で、同一または同質の生産物を生産する少数の企業のみによって市場が完全に支配されている状態である。 2社であればデュオポリー、3社であればトリポリーと呼ばれる。

クルノ寡占とベルトラン寡占は、寡占理論の中で最も注目される2つのモデルである。 クルノモデルでは、企業は生産水準をコントロールし、それが市場価格に影響を与えるが、ベルトランモデルでは、企業は製品単位の価格を選択し、市場の需要に影響を与える。

寡占市場におけるクルノやベルトランの競争については多くの文献があるが、クルノ-ベルトラン競争については、市場を2つの企業グループに細分化し、最初の企業は価格を最適に調整し、もう一方の企業は最大利益を確保するために生産を最適に調整するという特徴を持つ、かなり少ない著作しか存在しない。 例えば、二社独占市場において、一社は支配的な立場で競争し、それは生産量を決定変数として選択し、もう一社は不利な立場にあり、それはより多くの市場シェアを獲得するために価格を決定変数として選択する。 これまで知られているように、一方の企業が数量で、他方の企業が価格で競争するデュオポリーを分析した最初の著者は、Bylka and KomarとSingh and Vivesである。 Häckner , Zanchettin , Aryaらは、場合によってはCournot-Bertrand競争が最適である可能性を指摘した。 最近、C. H. TremblayとV. J. Tremblayは、Cournot-Bertrand二重独占のナッシュ均衡の静的特性に対する製品差別化の役割を分析した。 NaimzadaとTramontanaは、線形差分方程式で特徴付けられるCournot-Bertrand複占モデルを考察した。 本論文では、2社がそれぞれ生産量と価格を決定変数として選択し、全員が境界付き合理的期待を持つと仮定して、Cournot-Bertrand型複占モデルを設定する。 このゲームシステムは非線形差分方程式で記述可能であり、静的期待を持つ企業を考え、線形差分方程式で記述したNaimzada and Tramontanaの結果を修正・拡張したものである。 この研究は、企業の意思決定者が最善の意思決定を行うための良い指針となるであろう。

本論文の構成は以下の通りである。 第3節では、均衡点の存在と安定性を研究する。 第4節では、ゲームの制御パラメータをいくつか変化させたときの動的挙動を数値シミュレーションによって調べる。 最後に第5節で結論を述べる。 境界付き合理的期待を持つCournot-Bertrandゲームモデル

2社による市場を考え、企業は財 、 を生産しているものとする。 製品間にはある程度の差別化があり，. 企業1はCournot duopolyのように生産高を競い，企業2はBertrandのように価格を固定する。 企業は同時に戦略的選択を行い，各企業は他の企業の生産量と価格を知っているとする。

品種1，2の製品の逆需要関数は，代表消費者による次の効用関数の最大化から得られる：予算制約を受け，次の式で与えられる（詳しい証明は参照）。 製品差別化の程度は，. とは同質であり，各企業が独占的であるのは， のときであり， が負であれば，製品は補完的であることを意味する。 二つの企業の限界費用が同じであり、費用関数が一次形式であるとする。 需要系は2つの戦略変数, および, で書くことができる。

2社は市場や相手のことを完全に知っているわけではなく、期待される限界利益に基づいて意思決定を行うと仮定する。 限界利益が正（負）であれば、次期の生産量や価格を増加（減少）させる、つまり、境界合理的なプレーヤーである。 このときCournot-Bertrand混合力学系は次の非線形差分方程式で記述される：ここで、andは各関係における2人のプレイヤーの調整速度をそれぞれ表す。 は境界均衡点、andは一意なナッシュ均衡点であり、その条件は、and、thatは、andを必要とする。

平衡点の局所安定性を調べるために、状態変数に対応するシステム(6)のヤコビアン行列を , とすると、ここで , . 平衡点の安定性は、対応する平衡点で評価されるヤコビアン行列の平衡固有値の性質によって決定される。

命題1． システム(6)の境界平衡 , , および , は , , のとき不安定な平衡点である。

Proof. 平衡について、システム(6)のヤコビアン行列は以下のようになる。 これらの平衡に対応する固有値は以下の通りである。 明らかに 、平衡点は不安定である。
また、ヤコビアン行列は三角行列になる平衡に対応するこれらの固有値は次の通りである。 のとき、明らかに 。 ということは、平衡点は不安定である。 同様に、これも不安定であることが証明できる。

経済学的な観点からは、ナッシュ均衡点の局所安定性の研究に興味があり、その性質は

で深く分析されている。 に関して、固有値を明示的に計算することは難しくなったが、以下の安定条件（Juryの条件として知られている）を用いて、ナッシュ均衡点の安定性を評価することは可能である。 上記の不等式はナッシュ均衡点が局所的に安定となる領域を定義している。 また、数値シミュレーションにより、この安定領域についてより詳しく知ることができる。 システム(6)の複雑なダイナミクスを研究するためには、パラメータの値を次のようにとると便利である。 図 1 はパラメータ平面上に安定領域と不安定領域を示したものである。 図から、調整速度が速すぎるとナッシュ均衡点が安定でなくなることがわかる。 また、価格の調整速度は出力の調整速度よりも敏感であり、約 、ナッシュ均衡点は安定性を失い、約、ナッシュ均衡点はそうなることが分かる。

4. システムの安定性に対するパラメータの影響

パラメータベイスンプロット（2次元分岐図ともいう）は、2次元パラメータ空間において異なる周期の安定サイクルに異なる色を割り当てる1次元分岐図よりも非線形力学の数値解析において強力なツールである。 ここでは、パラメータベイスンプロットを用いて、プレイヤーの調整速度と製品差別化指数がシステムの安定性に及ぼす影響を分析する。 初期値は.

4.1として設定し、選択した。 プレイヤーの調整速度がシステムの安定性に及ぼす影響

図2は、パラメータベイスンをいつくかのパラメータに関して示し、安定した定常状態（濃い青）に異なる色を割り当てている。 期間2（水色）、4（紫）、8（緑）の安定サイクル（カオスへの期間倍加分岐ルートの最初の4サイクル）と期間3（赤）、5（オレンジ）、7（ピンク）（奇数期間の低次安定サイクル）、カオス（黄色）、発散（白）（これは経済学でプレイヤーのいずれかが市場から退出することを意味している）。

図2

ここで、図3、図4に示すように、パラメータが黒い矢印と境界を通過するとき、系(6)は反転分岐（連続系では周期2倍分岐と呼ぶ）を起こして安定性を失うことが分かる。 しかし、パラメータが矢印のように境界を越えると、系の動的挙動はより複雑になり、図5に示すように、まずNeimark-Sacker分岐（連続系ではHopf分岐と呼ぶ）、次に周期2に入り、さらにフリップ分岐で別々にカオスに発展していきます。 また、黄色い領域（カオス）には赤い線とオレンジの点（奇数サイクル）があり、図3から図5のようにカオスの中に断続的に奇数サイクルが存在することがわかります。 1次元連続写像において、奇数周期の周期はカオス的な動的挙動（いわゆるトポロジカルカオス）を意味することは、Li and Yorkeの有名な「周期3はカオスを意味する」という結果でよく知られています。

経済学の観点からは、企業の調整速度と一定の範囲にあるべきである。そうでなければ、システムはサイクル変動、そしてカオス、つまり不規則で初期値に敏感、予測不可能、経済にとって悪い状態になる。 これは、価格の調整が生産高の調整よりも敏感であり、価格競争が市場をカオスに陥れやすいことを意味している。 製品差別化指標のシステム安定性への影響

製品差別化指標のシステム安定性への影響を調べるために、図6、7、8、9は、 、 、 、 、 、 のパラメータベイスンを個別に示している。