Argand Plane と Polar Representation

Argand Plane

以前の授業で、数直線について読んだことがあると思うのです。 これは実数を直線上の点として表現する便利な方法です。 同じように、直交座標系についても読みましたね。 これは互いに直交する3本の軸の集合で、数の集合（2つか3つ）や空間内の点を表すのに便利な方法です。

まず数直線から始めましょう。 あなたが数学の神様のようなもので、実数を作ったところだと想像してください。 たまたま実数軸に垂直な線をもう一本引いたとします。 この線は何になるのでしょうか。 間違いなく実数ではない。 5533>

こうして、どんな虚数でもグラフで表す方法ができたのです。 実部、虚部を求めればよいのです。 次に、それらを互いに垂直な2本の数直線上に表現する。 このようにしてできた平面はアーガンド平面と呼ばれ、任意の虚数をグラフで表現するのに便利な方法である。 z = x + iyとする。

• 複素数の基本
• 複素数の演算
• 複素数の剰余と共役
• 複素二次方程式

アーガンド平面上に表された順序対（x，y）は点を表すことになる。 この点は複素数zに対応する。Oからzを表す点P(x,y)に有向グラフを引く。 この直線が「実軸」の正の方向となす角度をθとする。 したがって、(90 – θ)が「虚軸」となす角度となる。 これはちょっと重要なので、手元に置いておきましょう！

zの引数

すでに述べたように、すべての複素数はアーガンド平面のどこかで表すことができます。 これは我々の代数学の操作のもとでは複素数は閉じているという事実からきています。 z1 = 2 +3i と z2 = 2 – 3i という2つの数を表現することを想像してください。 z1| = |z2| であることがわかります。 おっと! どうしたのでしょう？ 2 点 (2, 3) と (2, -3) をプロットすると、実軸の上下で対称であることがわかる。 これを鏡像と呼びます。

どう区別するのでしょうか。 z1とz2の引数(Argument)と呼ばれる別の量を導入します。 これは、点P(複素数を表す)と原点Oを結ぶ線が、「実軸」の正の方向となす角’θ’として定義されます。 これにより、各複素数には、アルガンド平面上の方向という独特の感覚が与えられます。

Modulus of A Complex Number

前節で虚数z = a + ibの係数を｜z｜ = \( sqrt{a^2 + b^2} )｜と定義しましたが、この場合、複素数は実軸上のすべての点を一意的に表せます。 5533>

上の図で、矢じりが P (a, b) で、P は数 z = a + ib を表しているとする。 すると、OPの長さは距離の公式を使って、= \((a-0)^2+(b-0)^2}と求めることができる。 \したがって、OP = \sqrt{a^2 + b^2} ╱となります。 つまり、複素数に対応する点とArgand Planeの原点を結ぶ線分の長さが弾性率です。 見てわかるように、これは常に正なので、係数と呼びます。

下のダウンロードボタンをクリックすると、「複素数チートシート」をダウンロードできます。 そのうちの1つが極座標系です。 これは単に互いに垂直な直線の集合です。 原点は極と呼ばれる。 任意の点の位置は、その点を原点に結ぶ直線の長さと、その直線が指定された軸となす角度を測定することによって測られます。 例えば、φとrの値がわかればPの位置がわかる。これが極座標、rとφである。

同様に、アーガンド平面における複素数のアーガンと長さOPがわかれば、当該数の位置がわかる。 r＝OPとする。 OP = |z| = r ; ここで z = x + iy

P の座標は (x, y) であることもわかっている。 直角三角形ではx=r cos(θ)、y=r sin(θ)であることがわかる。 そこで、z = r cos(θ) + r sin(θ) = r と書くことができます。 5533>

Arg(z) = θ and |z| = r

Now y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

したがって θ = tan-1(y/x)

この関係から、複素数の引数が求まるのです。

解答例 For You

問題1：z＝-2（1＋2i）／（3＋i）ここでi＝θ（θsqrt{-1}θ）なら、zの引数θ（-π＜5765＞θ≦π）は次の通り。

A) 3 ㎤ B) ㎤ C) 5 ㎤ D) -3 ㎤

答えは． D) z = -2(1+2i)/(3 + i)

掛けて(3 – i)で割ると

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

これをz = x + iyと比較すると、以下の通りです。 x = -1, y = -1

したがって、θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4})

Why not \( \frac{π}{4})ですか。 それは、xとyがともに負だからです。 これは点Pが第3象限にあることを意味します。 したがって、θ＝-3 Ⓐ（Ⓐfrac{4π}{4}） .

質問2：議論の基本構造は何ですか？

答え。 論証は、結論を導かない少なくとも1つの前提からなる。 さらに、結論を支持するために使う少なくとも1つの前提、1つの誤謬から構成される。 さらに、議論は結論を支持するために使用される前提から構成される。

Question 3: 論証リストとは何ですか？

Answer: 引数とは、関数呼び出し式の括弧で囲まれたカンマ区切りリストで表現したリスト、または関数型マクロ呼び出しの補間で囲まれたカンマ区切りリストの処理トークン列のことを言います。 piとπの間にある値を複素数の主引数と呼びます。 なお、この値は-π＜5765＞θ＝πとなるものです。また、θは周期が2πの周期関数ですから、この引数は（2nπ＋θ）と表すことができ、ここでnは整数でこれは一般論です。

質問5：実数の引数は何ですか。 ベクトルと複素数が正の実軸となす角のことです。 また、実数が正のとき、答えはあなたの角度の測定です。