4.3: 圧縮率と膨張率

偏微分の式の導出（タイプI）。 The reciprocal rule

3つの変数で記述される系で、変数に数学的制約が書ける場合

この状況では、3番目のパラメータが固定値なので、2つのパラメータだけを独立して変化させて系の状態を指定することができる。 そのため、2つの関数を定義することができる。 \という2つの関数を定義することができます。

これによって、 \(dz) と \(dy) の全微分を次のように書くことができます。

and

Equation \ref{eq6} expression を Equation \ref{eq5} に代入すると、Extracting the Equation (式) となります。

&= \left( \dfrac{partial z}{partial x} \right)_y dx + \left( \dfrac{partial z}{partial y} \right)_x \left( \dfrac{partial z} {partial y} {partial z} dx) y}{partial x} \right)_z dx + \left( \dfrac{partial z}{partial y} \right)_x \left( \dfrac{partial y}{partial z} \right)_x dz \label{eq7}. \(xxx) is constant (\(dx = 0xx)), and so for changes that \(dzxx) neq 0xx),

この逆則は偏微分の操作に非常に便利である。 しかし、あまり厳密ではないものの、簡単な方法で導き出すこともできる。 まず、(z(x,y)の)全微分を書きます。 (Equation \ref{eq5}):

Now, divide both sides by \(dz\) and constrain to constant \(x 001).

Note that

And

Equation \ref{eq10} becomes

or

This “formal” method of partial derivative manipulation is convenient and useful, 数学的に厳密なものではありませんが。 しかし、変数が状態変数であり、微分が厳密であるため、熱力学で遭遇するような偏微分には有効である 。