32.20–中立・安定・不安定な平衡

ボールを軌道の平坦部（左側）に置くと中立平衡になります。 谷の部分にボールを置くと、安定した平衡状態になる。

このデモは、物体（剛体、つまり構成部分が互いに動かないもの）が重力場に置かれたとき、3種類の均衡があることを説明するものである。 この3種類の平衡は、物体がその位置からずれたときに、その物体の位置エネルギーがどのように変化するかという違いから生じる。 この位置エネルギーUの変化を重力との関係で表すと、Fx = -∂U/∂x、Fy = -∂U/∂y、Fz = -∂U/∂zと書くことができる。 それぞれの方向について、この位置エネルギーの変化がゼロに等しければ、物体はその方向で並進平衡状態にあることになります。 ある座標軸を考えると、この偏微分がゼロになるケースは3つ考えられる。

1つは、位置エネルギーが一定の場合である。 つまり、どちらの方向に変位しても物体の位置エネルギーは変化しない。 物体が変位しても、その変位を大きくしたり、元の位置に戻したりするような力は発生しない。 このとき、物体は中立的な平衡状態にあるといいます。 左のトラックの水平部分にボールを置くと、どんなに変位させても、ボールはどちらの方向にも力を受けません。 8243>

もう1つの方法は、位置エネルギーが最小である場合です。 この場合、物体をどちらかに変位させると、その位置エネルギーが上がり、その結果、物体を元の位置の方に戻す（重力）力が発生する。 安定した平衡状態である。 物体を変位させると位置エネルギーが上がるので、物体を元の位置から変位させるような力は、その物体に仕事をさせなければならない。 軌道の中央で静止しているボールは、安定な平衡状態を示しています。

第三の方法は、位置エネルギーが最大である場合、物体を左右に変位させると位置エネルギーが低下する。 その結果、物体を元の位置からさらに移動させる（重力）力が発生する。 これは不安定な平衡状態である。 物体を移動させると位置エネルギーが下がるので、物体を元の位置から移動させるのに必要な仕事を重力がする。 軌道の右端は、上向きのカーブになっているので、不安定な平衡を示すことができます。 ボールを曲線の頂点に置くと、どちらかにわずかに変位すると、ボールは井戸の中に転がり落ちるか、トラックの端から転がり落ちる。

1) Resnick, Robert and Halliday, David. Physics, Part One, Third Edition (New York: John Wiley and Sons, 1977), pp.291-3.

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