正則ベクトル

正則ベクトルとは何か

ベクトルの長さが1であれば、それは正則であると言います。 2つのベクトルが互いに直角である（その内積が0である）場合、直交しているといいます。 ベクトル集合は、それらがすべて正規であり、集合内のベクトルの各対が直交している場合、直交といいます。

直交ベクトルは通常、ベクトル空間の基底として使用されます。 例えば、あるベクトルの長さは、ある直交基底に対するそのベクトルの座標の二乗の和の平方根に過ぎない。

QR分解

実正方行列AのQR分解とは、次のような2つの行列QとRを見つけることである。

• A = QR

• Q は直交行列

• R は上三角行列

（Aが複素正方行列、または直交行列なら、Q はユニタリー行列となる。)

行列のQR分解を計算する方法には、グラムシュミット法、ハウスホルダー変換、ジブン回転など、いくつかの方法があります。 各手法には長所と短所があるので、実装者は与えられた問題に対してこれらのアルゴリズムのそれぞれを注意深く研究する必要があります。

QR分解は、線形最小二乗問題の解決によく使われます。 これはまた、QRアルゴリズムと名付けられた固有ベクトル探索アルゴリズムの基礎でもある（皮肉なことに、アルゴリズムの現代的な形は実際にはQR分解の計算を伴わない！）

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