円周率 宇宙で最も重要な数字？

By Edward B. Burger, Ph.D., Southwestern University

私たちの宇宙で最も重要な数の1つが、円周率またはπです。 この謎めいた数を計算、近似、理解しようとする、文化を超えた人類のオジサーの試みを探ってみてください。

A Definition

πの起源ははっきりとは分かっていませんが、紀元前1800年頃にバビロニア人が60進法でπを近似したことが分かっています。 1375>

定数πは、私たちの宇宙をより明確に理解するのに役立ちます。 πの定義は、角度の測定という新しい概念、新しい測定単位にインスピレーションを与えました。 この重要な角度の測り方は「ラジアン測度」として知られ、我々の物理的世界における多くの重要な洞察を生んだ。 πそのものについては、1761年にヨハン・ランバートがπが無理数であることを示し、その後1882年にフェルディナンド・フォン・リンデマンがπが整数の多項式方程式の解でないことを証明した。 しかし、πに関する多くの疑問はまだ解決されていない。

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Experimenting with Pi

円周率の起源についての議論は、誰もができる円に関する実験から始める必要があります。 どんな円でもいいので、円周の長さ (周りの長さ) をとり、直径 (横の長さ) で計ってください。 直径が3つになり、ほんの少し、よく見ると1/10より少し余っていますね。 この実験から、円周と直径の比は、3.1前後、あるいはそれより少し大きい数字になることがわかります。 1375>

This is a transcript from the video series Zero to Infinity.

この固定された一定の値には名前が付けられ、私たちはそれをπと呼んでいます。 もっと正確に言うとどうなるでしょうか。 数πは、任意の円の円周とその直径の横方向の比に等しいと定義されています。 この比率は一定である。 どんな大きさの円でも、この数値は常に同じになるのです。 1375>

記号のπはギリシャ文字のπからきており、「周辺」を表すギリシャ語がπで始まるからです。 円の周辺は今日我々が円周と呼ぶ円の周囲の前触れでした。 πという記号は、ウィリアム・ジョーンズの1709年のテキスト『A New Introduction to Mathematics』に初めて登場し、その後、18世紀のスイスの偉大な数学者レオンハルト・オイラーは1737年頃にこの記号を普及させました。

詳しくはこちら 実際、バビロニア人は π = 25/8 または 3.125 と考えていたようで、人類の歴史の中でこれほど早くから驚くべき近似値を示していました。 有名な「リンド・パピルス」に登場する古代エジプトの書記アーメスは、256/81という近似値を提示しており、これは3.16049ということになる。 ここでも、この定数に対する印象的な近似が見られる。 聖書の中にもπの暗黙の値が示されている。 列王記上7章23節に、円形の盆は円周30キュビット、直径10キュビットと記されています。 1375>

当然のことながら、人類の数字に対する理解が深まるにつれ、πそのものを理解し、推定する能力も向上していきました。 263 年、中国の数学者劉輝は、π=3.141014 と信じていました。

約200年後、インドの数学者であり天文学者であったアーリアバタは、πを62,832/20,000の分数で近似し、3.1416としたのだが、これは本当に驚くべき推定値である。 1375>

How to Measure Angles with Pi

πの桁を求める歴史から離れ、私たちの宇宙で重要な数としてのπを考えてみましょう。 πは円の円周を測るのに使われることから、角度の距離の尺度として使われるようになったのです。 半径1の円を考えてみよう。 半径とは、ちょうど中心から側面までの長さのことです。 1375>

角度を測る伝統的な単位は、もちろん度である。 度では、円の周りを完全に1回転すると、360度という尺度になります。これは、1年の日数とほぼ同じで、私たちが1周を360と考えるのはこのためかもしれません。

360という任意の尺度で1周を意味するのではなく、この特定の円、半径1の円を1周する実際の長さを考えてみましょう。 その長さと円周はどうでしょうか。 半径が1なら、直径はその2倍の2ですから、円周は直径のπ倍ですから、1周は2倍のπになることがわかります。

1周すると2πになりますね。 1周すると360度の角度になり、この円では円周の長さが2πで掃き出されることになります。 90 度では、円の 1/4 を掃引し、この特定の円では、長さ π/2 つまり 1/2 π になります。

すべての角度は、半径 1 のこの特定の円の一部または全周を測定した距離に対応していることがわかり始めています。

この弧の長さは、角度の尺度を表す新しい方法を提供し、私たちはこの角度の尺度を “ラジアンの尺度” と呼んでいます。 例えば、360度＝2πラジアン、これが単位であり、180度はπラジアンに等しく、90度はπ/2ラジアンに等しい。 これらの測度はすべて、常に半径 1 の特別な円に基づいていることを忘れないでください。

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ラジアン測度と円周率のべき乗

数学と物理学の角度の測定には、このラジアン測度がよりなじみ深い度測よりもずっと役に立つことが判明しているのです。 この事実は当然といえば当然です。 ラジアン測度は、数学的な裏づけのない任意の度数測度よりも、円周の長さを介して角度と自然に結びついているのである。 ラジアンという言葉が初めて印刷物に登場したのは1870年代だが、その頃には偉大な数学者レオンハルト・オイラーを含む大数学者たちが100年以上も前からラジアン単位で測った角度を用いていたのである。

数πは、ハイゼンベルクの不確定性原理や一般相対性理論のアインシュタインの場の方程式など、無数の重要な公式や理論に登場する。 世界中で重要な数式や数字です。

数字Piに関するよくある質問

この記事は2020

年4月28日に更新されました。