Vettori Ortonormali

Cos’è un vettore ortonormale?

Un vettore si dice normale se ha una lunghezza di uno. Due vettori si dicono ortogonali se sono ad angolo retto tra loro (il loro prodotto punto è zero). Un insieme di vettori si dice ortonormale se sono tutti normali, e ogni coppia di vettori nell’insieme è ortogonale.

I vettori ortonormali sono solitamente usati come base su uno spazio vettoriale. Stabilire una base ortonormale per i dati facilita notevolmente i calcoli; per esempio, la lunghezza di un vettore è semplicemente la radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate di quel vettore rispetto a qualche base ortonormale.

Decomposizione QR

La decomposizione QR di una matrice reale quadrata A è il processo di trovare due matrici Q e R tali che:

• A = QR

• Q è una matrice ortogonale

• R è una matrice triangolare superiore

(se A è una matrice quadrata complessa, o è una matrice rettangolare, allora Q sarà una matrice unitaria.)

Ci sono diversi metodi per calcolare la decomposizione QR di una matrice, incluso il processo di Gram-Schmidt, le trasformazioni di Householder o le rotazioni di Givens. Ogni metodo ha pro e contro, quindi gli implementatori dovrebbero studiare attentamente ognuno di questi algoritmi per un dato problema.

La decomposizione QR è spesso usata nella soluzione del problema dei minimi quadrati lineari. È anche la base di un algoritmo di ricerca degli autovettori, giustamente chiamato algoritmo QR (anche se, ironicamente, la forma moderna dell’algoritmo non comporta effettivamente il calcolo di una decomposizione QR!