Punto di equilibrio

Il punto x ~ ∈ R n {displaystyle {tilde {mathbf {x} in \mathbb {R} ^{n}}

è un punto di equilibrio per l’equazione differenziale d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {dmathbf {x} {{dt}}==mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

se f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{mathbf {x})=\mathbf {0} }

per tutti i t {displaystyle t}

.

Similmente, il punto x ~ ∈ R n {displaystyle {tilde {mathbf {x} in \mathbb {R} ^{n}}

è un punto di equilibrio (o punto fisso) per l’equazione di differenza x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

se f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{mathbf {x})={mathbf {x} ={mathbf {x} }}}

per k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Gli equilibri possono essere classificati guardando i segni degli autovalori della linearizzazione delle equazioni sugli equilibri. Vale a dire, valutando la matrice Jacobian in ogni punto di equilibrio del sistema, e trovando poi gli autovalori risultanti, gli equilibri possono essere classificati. Poi il comportamento del sistema nelle vicinanze di ogni punto di equilibrio può essere determinato qualitativamente (o anche quantitativamente, in alcuni casi), trovando l’autovettore o gli autovettori associati a ciascun autovalore.

Un punto di equilibrio è iperbolico se nessuno degli autovalori ha parte reale zero. Se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa, l’equilibrio è un’equazione stabile. Se almeno uno ha una parte reale positiva, l’equilibrio è un nodo instabile. Se almeno un autovalore ha parte reale negativa e almeno uno ha parte reale positiva, l’equilibrio è un punto di sella.